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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:48 Sa 04.07.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | betrachte zu gegebenen positiven zahlen [mm] a_{1} [/mm] ,..., [mm] a_{n} [/mm] das potenzmittel
[mm] P(\alpha) [/mm] := [mm] (\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_{k}^{\alpha})^{\bruch{1}{\alpha}} [/mm] , [mm] \alpha \in \IR \backslash [/mm] {0} .
(i) berechne die ableitung des potenzmittels in allen punkten [mm] \alpha\not=0
[/mm]
(ii) drücke den quotienten [mm] \bruch{P'(\alpha)}{P(\alpha)} [/mm] so aus, dass die parameter [mm] a_{1} [/mm] ,..., [mm] a_{n} [/mm] nur in der form [mm] \bruch{a_{k}}{P(\alpha)} [/mm] eingehen.
Bemerkung:die jensensche ungleichung zeigt dann , dass [mm] P'(\alpha)\ge [/mm] 0 |
joa ihr lieben leute...
ich bräuchte dringends hilfe bei dieser aufgabe...
also wenn ihr mir helfen könnt wär ich euch sehr dankbar...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Sa 04.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> betrachte zu gegebenen positiven zahlen [mm]a_{1}[/mm] ,..., [mm]a_{n}[/mm]
> das potenzmittel
>
> [mm]P(\alpha)[/mm] :=
> [mm](\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_{k}^{\alpha})^{\bruch{1}{\alpha}}[/mm]
> , [mm]\alpha \in \IR \backslash[/mm] {0} .
>
> (i) berechne die ableitung des potenzmittels in allen
> punkten [mm]\alpha\not=0[/mm]
>
> (ii) drücke den quotienten [mm]\bruch{P'(\alpha)}{P(\alpha)}[/mm]
> so aus, dass die parameter [mm]a_{1}[/mm] ,..., [mm]a_{n}[/mm] nur in der
> form [mm]\bruch{a_{k}}{P(\alpha)}[/mm] eingehen.
>
> Bemerkung:die jensensche ungleichung zeigt dann , dass
> [mm]P'(\alpha)\ge[/mm] 0
>
> joa ihr lieben leute...
> ich bräuchte dringends hilfe bei dieser aufgabe...
> also wenn ihr mir helfen könnt wär ich euch sehr
> dankbar...
Sag uns doch mal, was du schon versucht hast, und wie weit du schon gekommen bist.
In (i) sollst du ja Ableitungen ausrechnen. Schonmal versucht?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mo 06.07.2009 | | Autor: | simplify |
joa ich hab schonmal versucht die ableitung zu berechnen und bin dabei zu folgendem gekommen:
[mm] P'(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\alpha} (\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}a_{k}^{\alpha})^{\bruch{1}{\alpha}-1} (\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}\alpha a_{k}^{\alpha -1})
[/mm]
Ist das denn so richtig?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> joa ich hab schonmal versucht die ableitung zu berechnen
> und bin dabei zu folgendem gekommen:
>
> [mm]P'(\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\alpha} (\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}a_{k}^{\alpha})^{\bruch{1}{\alpha}-1} (\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}\alpha a_{k}^{\alpha -1})[/mm]
>
> Ist das denn so richtig?
Nein. Wenn das richtig wäre, dann wäre die Ableitung von [mm] $f(\alpha) =e^{\alpha}$:
[/mm]
[mm] $f'(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha e^{\alpha-1}
[/mm]
??????????????
FRED
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mo 06.07.2009 | | Autor: | simplify |
na dann weiss ich wohl nicht wie man das machen soll also waere es lieb wenn du mir helfen koenntest...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir zum Beispiel $f(x) = [mm] 2^x$
[/mm]
Die Ableitung ist dann nicht [mm] x2^{x-1} [/mm] !! mache Dir das klar.
Es ist $f(x) = [mm] e^{x*ln(2)}$ [/mm] jetzt nimm die Kettenregel und bestätige, dass
$f'(x) = [mm] 2^x*ln(2)$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 06.07.2009 | | Autor: | simplify |
und wenn die ableitung so stimmt, dann bin ich was den teil (ii) betrifft bis hierher gekommen:
[mm] \bruch{P'(\alpha)}{P(\alpha)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{\alpha}\summe_{k=1}^{n} \alpha a_k^{\alpha -1}}{\summe_{k=1}^{n}a_k^{\alpha}}
[/mm]
aber weiter weiss ich jetzt leider nicht mehr...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> und wenn die ableitung so stimmt,
Das tut sie aber nicht
FRED
> dann bin ich was den teil
> (ii) betrifft bis hierher gekommen:
>
> [mm]\bruch{P'(\alpha)}{P(\alpha)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{\alpha}\summe_{k=1}^{n} \alpha a_k^{\alpha -1}}{\summe_{k=1}^{n}a_k^{\alpha}}[/mm]
>
> aber weiter weiss ich jetzt leider nicht mehr...
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Mo 06.07.2009 | | Autor: | simplify |
na dann waer es ja supernett wenn du mir eine hilfestellung geben koenntest, denn ich hab einfach die kettenregel angewendet...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mo 06.07.2009 | | Autor: | simplify |
ok,danke
dh. ich kann [mm] P(\alpha) [/mm] umschreiben in :
[mm] (e^{\bruch{1}{\alpha}})^{ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k^{\alpha})}
[/mm]
so jetz hab ich versucht abzuleiten :
schreibe ab jetzt x anstelle von [mm] \alpha [/mm] ...weil mir das doch irgendwie ein bischen leichter faellt.
[mm] P'(x)=ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k^{x}) (e^{\bruch{1}{x}})^{ln(\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}a_k^{x}) -1} \bruch{1}{x} e^{\bruch{1}{x}} \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} ln(a_k) (e^{x})^{ln(a_k) -1} e^{x}
[/mm]
boa..ich bin mir jetzt da echt unsicher...
also, ist es falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 06.07.2009 | | Autor: | simplify |
also ich hab jetzt nochmal abgeleitet und bin an einem punkt angelangt wo ich nicht weiterkomme.
mir fehlt die ableitung von: [mm] e^{\bruch{1}{\alpha} ln(\summe_{k=1}^{n} e^{\alpha ln(a_k)})
waere super wenn mir da jemand helfen koennte weil ich nicht wirklich weiss wie ich ne verkettete kette ableiten soll...
LG
}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mo 06.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die aeussere Ableitung war richtig.
nur bei der inneren musst du [mm] a^{alpha} [/mm] durch [mm] e^{\alpha*lna} [/mm] ersetzen.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:30 Di 07.07.2009 | | Autor: | simplify |
also, ich muss doch jetzt den term:
[mm] e^{\bruch{1}{\alpha} ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} e^{\alpha ln(a_k)})}
[/mm]
ableiten, ne? da wende ich ja im prinzip einfach die kettenregel an: äußere ableitung mal innere ableitung(das innere ist bei mir dann [mm] e^{\bruch{1}{\alpha}}), [/mm] das problem ist nur, dass ich nicht weiß, was mit dem term [mm] ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} e^{\alpha ln(a_k)})
[/mm]
passiert, denn den muss ich ja irgendwie auch noch ableiten...
wär also echt supa wenn mir da noch jemand weiterhelfen könnte...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 07.07.2009 | | Autor: | simplify |
ich habe jetz nochmal versucht die ableitung zu berechnen und habe das hier raus:
[mm] P'(x)=\bruch{-ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k^{x}))^{\bruch{1}{x}+1}* \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k^{x} +\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} ln(a_k) * a_k^{x} * x}{x^{2} * \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k^{x}}
[/mm]
darauf bin ich gekommen indem ich folgendes gemacht habe :
P(x)= [mm] e^{\bruch{1}{x}*ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}(e^{x*ln(a_k)}))}
[/mm]
wähle [mm] e^{u} [/mm] = P(x)
dann ist P'(x) = [mm] (e^{u})' [/mm] * (u)'
[mm] =e^u [/mm] * u'
wobei bei (u)' wieder die kettenregel anzuwenden ist.
ist das jetzt so endlich richtig??? =S
falls nicht wäre es super wenn ihr mir sagen könntet was ich anders machen muss....
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:53 Mi 08.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe jetz nochmal versucht die ableitung zu berechnen
> und habe das hier raus:
>
> [mm]P'(x)=\bruch{-ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k^{x}))^{\bruch{1}{x}+1}* \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k^{x} +\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} ln(a_k) * a_k^{x} * x}{x^{2} * \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_k^{x}}[/mm]
Da stimmt was nicht: vergleich mal die Anzahl der oeffnenden mit den schliessenden Klammern.
> darauf bin ich gekommen indem ich folgendes gemacht habe :
>
> P(x)=
> [mm]e^{\bruch{1}{x}*ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}(e^{x*ln(a_k)}))}[/mm]
>
> wähle [mm]e^{u}[/mm] = P(x)
> dann ist P'(x) = [mm](e^{u})'[/mm] * (u)'
> [mm]=e^u[/mm] * u'
> wobei bei (u)' wieder die kettenregel anzuwenden ist.
Schreib doch mal $u$ hin und wie du $u$ ableitest.
> ist das jetzt so endlich richtig??? =S
Anscheinend nicht. Woran es liegt kann ich dir nicht sagen, eine Kristallkugel besitze ich nicht.
Lass uns das doch mal Schritt fuer Schritt machen. Leite folgendes ab:
$F(x) := [mm] \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k^x$
[/mm]
$K(x) := [mm] \log [/mm] F(x)$
$G(x) := [mm] \frac{1}{x}$
[/mm]
$L(x) := G(x) [mm] \cdot [/mm] K(x)$
$H(x) := [mm] F(x)^{G(x)} [/mm] = [mm] \exp(G(x) \cdot \log [/mm] F(x)) = [mm] \exp(L(x))$
[/mm]
Schreib hierher wie du das ableitest und lass moeglichst viele Zwischenschritte da, und fueg immer erst moeglich spaet die Definitionen der Funktionen ein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Mi 08.07.2009 | | Autor: | simplify |
also, ich habe [mm] u=\bruch{1}{x}*ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{x*ln(a_k)}) [/mm] gewählt.
[mm] v=e^{u} [/mm]
v'= [mm] e^{u}
[/mm]
P'(x) = v'*u'
u' = produktregel mit kettenregel
u'= [mm] (\bruch{1}{x})' *ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{x*ln(a_k)}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * ( [mm] ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{x*ln(a_k)}) [/mm] )'
[mm] (\bruch{1}{x})'= -\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
( [mm] ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{x*ln(a_k)}) [/mm] '= [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{x*ln(a_k)}}*\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} ln(a_k) e^{x* ln(a_k)-1}*e^{x}
[/mm]
dann ergibt sich
[mm] P'(x)=e^{\bruch{1}{x}*ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{x*ln(a_k)})}*-\bruch{1}{x^{2}} *ln(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{x*ln(a_k)} +\bruch{1}{x}* \bruch{1}{\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}e^{x*ln(a_k)}}*\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} ln(a_k) e^{x* ln(a_k)-1}*e^{x}
[/mm]
( * soll ein malzeichen sein)
LG
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