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| Aufgabe | Eine Punktladung befindet sich im Ursprung. Eine leitende Kugelschale mit innerem Radius [mm] R_{1} [/mm] und äußerem Radius [mm] R_{2} [/mm] umgibt die Punktladung konzentrisch. Gesucht ist das elektrostatische Potential [mm] \phi(r) [/mm] für alle r, normiert auf Null für [mm] r\rightarrow\infty. [/mm] Betrachten Sie zwei Fälle:
(i) Kugelschale ist geerdet, d.h. [mm] \phi=0 [/mm] auf der Kugelschale.
(ii) Kugelschale ist ungeladen und isoliert. |
Hallo
also man macht das Ganze ja im Wesentlichen mit dem Gaußschen Gesetz, also [mm] \int\vec{E}d\vec{A}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int\rho [/mm] dV.
Nun ist meine Frage, was [mm] \rho [/mm] ist? Spontan würde ich sagen [mm] \rho(r)=q\delta(r), [/mm] weil sie nur im Ursprung sitzt. Wenn man das aber so macht, liefert das rechte Integral natürlich immer Null, weil [mm] dV=r^{2}\sin\theta drd\theta d\phi. [/mm]
Also was ist [mm] \rho? [/mm] Das linke Integral liefert (wenn man Kugelsymmetrie beachtet) [mm] 4\pi E(r)r^{2}.
[/mm]
Jetzt ist halt noch die Frage, inwiefern sich (i) und (ii) unterscheiden. Da [mm] \phi=0 [/mm] ist auf der Kugelschale in (i), gibt es doch nur ein Potential für den Fall [mm] R_{1}R_{1} [/mm] und nicht mehr für [mm] r>R_{2}. [/mm]
Um die jeweilige Ladung auszurechnen brauche ich natürlich die Ladungsdichte.
Und was ändert sich dann in (ii)? Eigentlich müsste die Kugelschale doch dann aufladen also irgendwie für [mm] r>R_{2} \phi=const [/mm] sein oder?
Ich brauche erstmal die Ladungsdichte, dann kann ich richtig anfangen zu rechnen.
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Hallo!
Denke dran, daß per Definition [mm] \int\delta(x)=1 [/mm] gilt, sofern das Integrationsgebiet auch die 0 mit einschließt.
Das heißt für dich, daß in der Aufgabe IMMER der Beitrag der Punktladung [mm] \int\rho\,dV=q [/mm] ist.
Rein qualitativ ist im geerdeten Fall außerhalb der Kugel kein Feld/Potential. Damit muß im Kugelmaterial die Ladung -q liegen, du müßtest dir gedanken manchen, wie diese verteilt ist.
Im ungeerdeten Fall wirst du eine Polarisierung innerhalb des Materials haben, aber außerhalb wirst du exakt das gleiche wie ohne Kugel haben. (Ohne Gesamtladung auf der Kugel leistet sie auch kein Beitrag zu dem Integral für [mm] r>R_2 [/mm] )
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Ok ist klar.
Dann komme ich wenn ich beide Integrale also habe und von 0 bis r integriere zu
[mm] E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} [/mm] für [mm] r
Aber ich weiß nicht recht wie ich weitermachen soll. Wie ist das mit der Ladungsdichte dann in dem Fall (a)
Verteilt sich die Ladung -q nicht über die gesamte Kugeloberfläche mit Radius R2?
Oder wie kann ich das mit der Ladungsdichte [mm] \rho [/mm] so aufschreiben, dass ich dann einfach integrieren kann?
[mm] \rho=q\delta(r)-q\delta(r-R_{2}) [/mm] stimmt ja nicht, weil die Ladung letztenendes zwischen R1 und R2 liegt oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Do 17.02.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du kannst das doch nicht so $ [mm] \rho=q\delta(r)-q\delta(r-R_{2}) [/mm] $ aufschreiben. [mm] q\delta(r-R_{2}) [/mm] - was soll das bedeuten? Falls du mit r einen Vektor meinst, ist es falsch. Fals du mit r den Betrag meinst, ist es ebenfalls falsch. Das würde ja heissen auf jeder stelle der ganzen Kugelfläche [mm] R_{2} [/mm] liegt eine Ladung -q. Das ist etwas zu viel...
Die Ladung sitzt doch auf der Kugelfläche [mm] R_{1}. [/mm] Und zwar als Flächenladung [mm] \sigma. [/mm] Der Elektrische Fluss von Ladung q im Zentrum und Flächenladung müssen sich kompensieren.
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 16.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Eine Punktladung befindet sich im Ursprung. Eine leitende
> Kugelschale mit innerem Radius [mm]R_{1}[/mm] und äußerem Radius
> [mm]R_{2}[/mm] umgibt die Punktladung konzentrisch. Gesucht ist das
> elektrostatische Potential [mm]\phi(r)[/mm] für alle r, normiert
> auf Null für [mm]r\rightarrow\infty.[/mm] Betrachten Sie zwei
> Fälle:
>
> (i) Kugelschale ist geerdet, d.h. [mm]\phi=0[/mm] auf der
> Kugelschale.
>
> (ii) Kugelschale ist ungeladen und isoliert.
>
> Hallo
>
> also man macht das Ganze ja im Wesentlichen mit dem
> Gaußschen Gesetz, also
> [mm]\int\vec{E}d\vec{A}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int\rho[/mm] dV.
>
> Nun ist meine Frage, was [mm]\rho[/mm] ist? Spontan würde ich sagen
> [mm]\rho(r)=q\delta(r),[/mm] weil sie nur im Ursprung sitzt.
Nein, sondern es ist
[mm] \rho(\vec{r}) = q \delta(\vec{r}) = q \delta(x) \delta(y) \delta(z) [/mm] .
> Wenn
> man das aber so macht, liefert das rechte Integral
> natürlich immer Null, weil [mm]dV=r^{2}\sin\theta drd\theta d\phi.[/mm]
Wenn du eine Koordinatentransformation durchführst, musst du auch [mm] $\delta$ [/mm] transformieren. Praktisch bedeutet das:
[mm] \delta(\vec{r}) = \bruch{1}{4\pi r^2 } \delta(r) [/mm],
wobei rechts die eindimensionale [mm] $\delta$-Distribution [/mm] bzgl [mm] $r=|\vec{r}|$ [/mm] gemeint ist.
Die [mm] $\delta$-Distribution [/mm] ist immer über die Anwendung auf eine Funktion definiert:
[mm] \delta_a[f] = f(a) [/mm] .
Die Schreibweise
[mm] f(a) = \integral \delta(x-a) f(x) dx [/mm]
ist irreführend. Es kann keine Funktion [mm] $\delta$ [/mm] mit dieser Eigenschaft geben; das ist mit dem üblichen Integralbegriff nicht vereinbar.
Viele Grüße
Rainer
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