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Hi Leute,
Ich arbeite mich jetzt langsam durch meine Numerik-Klausur und habe mit folgender (Teil-)Aufgabe Probleme:
"Es seien $A [mm] \in M\left(m \times m, \IK\right)$ [/mm] und [m]B \in M\left(m \times n, \IK\right)[/m] mit $m [mm] \ge [/mm] n$ und [mm] $\text{rang}\left(B\right) [/mm] = n$.
Zeige, dass alle Diagonalelemente einer positiv definiten Matrix positiv sind."
Jedenfalls ist eines der Kriterien für positive Definitheit einer Matrix, daß alle Hauptminoren der Matrix > 0 sind. Deshalb habe ich mir gedacht, man könnte dies mit vollständiger Induktion über m zeigen:
Induktionsanfang:
[m]\text{A ist positiv definit} \Rightarrow \vmat{ a_{1,1} } > 0[/m]. Die erste Unterdeterminante von A (besteht also nur aus einem Element), ist also per Definition > 0, womit natürlich auch der erste Diagonaleintrag in der Matrix positiv ist.
Induktionsannahme:
Sei [m]A = \left(a_{i,j}\right)_{i = 1,\ldots,m;\,j = 1,\ldots,m}[/m] , dann gilt [m]\forall i \in \IN: a_{i,i} > 0.[/m]
Induktionsschritt (m -> m+1):
Tja, und hier hatte ich meine Probleme. Ich kann jetzt annehmen, daß alle Hauptminoren bis zum $m [mm] \times m-\text{Hauptminor} [/mm] > 0$ sind. Leider verstehe ich noch nicht ganz, was dies über die Diagonalelemente von A aussagt (außer beim ersten Hauptminor, da ist das sofort klar.  ).
Und selbst wenn ich's verstehen würde, weiß ich nicht, wie ich die Aussage auf die [m]\left(m+1\right) \times \left(m+1\right)-\text{Matrix}[/m] übertragen soll.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank!
Schöne Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 18.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Karl,
Deinen Beweis zu vervollständigen, könnte schwer werden.
war nicht ein anderes Kriterium (genauer: die Definition) von "positiv definit", dass für alle x gelten muss: $ [mm] x^T*A*x>0 [/mm] $
dann schau dir doch mal die Einheitsvektoren als x an...
viele grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo DaMenge,
Endlich finde ich etwas Zeit für Mathe.
> war nicht ein anderes Kriterium (genauer: die Definition)
> von "positiv definit", dass für alle x gelten muss:
> [mm]x^T*A*x>0[/mm]
>
> dann schau dir doch mal die Einheitsvektoren als x an...
Ja, das reicht schon als Tip. Danke!
Denn wegen der positiven Definitheit von A gilt insbesondere für einen beliebigen Einheitsvektor e: $e^TAe > 0$. Angenommen e ist der i-te Einheitsvektor. M.a.W. enthält e überall Nullen, außer bei seiner i-ten Zeile.
Dann enthält [mm] $e^T$ [/mm] überall Nullen außer bei seiner i-ten Spalte. Multiplizieren wir [mm] $e^T$ [/mm] mit A, kommt somit gerade die i-te Zeile von A als Ergebnis raus. Multiplizieren wir diesen Zeilenvektor mit e, wird wegen der Nullen bei e (außer bei Zeile i) gerade die i-te Spalte vom Zeilenvektor ausgewählt. Damit erhalten wir als Ergebnis eine Zahl, welche nach der obigen Definition > 0 ist. Wir sehen also, daß für einen beliebigen Einheitsvektor nach dem selben Prinzip immer ein Diagonalelement der Matrix A ausgewählt wird, welches dann nach der Definition der positiven Definitheit > 0 ist. Das beschließt den Beweis. [mm] $\square$
[/mm]
Hmm, ich merke gerade, daß all diese Beweise letztenendes auf einige allgemeine Betrachtungen bei der Matrizenmultiplikation hinauslaufen.
Ok, Danke nochmal. 
Viele Grüße
Karl
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