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| Aufgabe | Es seien A und B reelle, positiv definite Matrizen. Zeigen Sie:
(a) Die Matrix A ist regülär, und [mm] A^{-1} [/mm] ist positiv definit.
(b) Alle ganzzahligen Potenzen von A sind positiv definit.
(c) Die Matrix A + B ist positiv definit. |
Hallo!
zu (a): Dass A regulär ist, zeige ich durch Widerspruch: Sei A singulär, dann existiert ein [mm] x\not=0, [/mm] so dass Ax=0, also folgt: [mm] x^{T}Ax=0. [/mm] Da A positiv definit ist, kann das aber nicht sein, also: A regulär.
Wie zeige ich jedoch, dass [mm] A^{-1} [/mm] auch positiv definit ist??? ich habe da leider überhaupt keine idee...
zu (b): Hier habe ich auch überhaupt keinen Ansatz. Hat da vielleicht jemand nen Tipp???
(c): krieg ich hin
Vielen Dank im vorraus für jede Hilfe......
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> Es seien A und B reelle, positiv definite Matrizen. Zeigen
> Sie:
> (a) Die Matrix A ist regülär, und [mm]A^{-1}[/mm] ist positiv
> definit.
> (b) Alle ganzzahligen Potenzen von A sind positiv
> definit.
> (c) Die Matrix A + B ist positiv definit.
> zu (a): Dass A regulär ist, zeige ich durch Widerspruch:
> Sei A singulär, dann existiert ein [mm]x\not=0,[/mm] so dass Ax=0,
> also folgt: [mm]x^{T}Ax=0.[/mm] Da A positiv definit ist, kann das
> aber nicht sein, also: A regulär.
> Wie zeige ich jedoch, dass [mm]A^{-1}[/mm] auch positiv definit
> ist??? ich habe da leider überhaupt keine idee...
Hallo,
Du mußt ja daraufhinarbeiten, daß für alle [mm] w\not=0 [/mm] gilt: [mm] w^tA^{-^}w>0.
[/mm]
Da die Matrix A invertierbar ist, findest Du für jedes [mm] w\not=0 [/mm] ein passendes [mm] v_w\not=0 [/mm] mit
[mm] w=Av_w.
[/mm]
Also ist [mm] w^tA^{-1}w=...
[/mm]
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> zu (b): Hier habe ich auch überhaupt keinen Ansatz. Hat da
> vielleicht jemand nen Tipp???
Punkt 2
Gruß v. Angela
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1 hab ich hinbekommen. danke für den tipp.....bei 2 komm ich trotzdem nicht weiter. ich weiß jetzt, dass das mit induktion geht, aber irgendwie klappt das nicht......hast du vielleicht noch nen tipp??
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Hallo,
ich bin da auch gerade an einer Klippe gestrandet...
Aber: kann es eigentlich sein, daß die Matrizen, die Ihr im Moment betrachtet, stillschweigend symmetrisch sind?
(Das ist in diesem Kapitel gelegentlich so.)
Dann wäre es recht einfach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 25.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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