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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Do 05.10.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Sei B eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] und eine Bilinearform [mm] \beta: \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2\to\IR [/mm] in dieser Basis durch die Matrix
[mm] M_{B}(\beta)=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
gegeben. Wird durch [mm] \IR^2 [/mm] zu einem euklidischen Vektorraum? |
Hallo,
habe die Lösung in Kurzversion bereits vorliegen, doch ich weiß nicht wie man darauf kommt!
Lösung: Die Bilinearform ist offenbar symmetrisch. Für [mm] v=b_{1}-b{2} [/mm] gilt
[mm] \beta(v,v)=1-2*2+1=-2
[/mm]
was negativ ist. Also ist die Bilinearform nicht positiv definit, definiert also nicht die Struktur eines euklidischen Vektroraums auf [mm] \IR^2.
[/mm]
Wie kommt man auf o.g. Gleichung?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Grüße
vicky
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Die Sache mit der Symmetrie ist eigentlich eindeutig, oder?
Zum positiv definiten:
Das heißt, daß
[mm] $\vektor{x \\ y} \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } \vektor{x \\ y}>0$
[/mm]
immer gelten muß. Rechne das mal aus, dann kommst du auf
x²+2xy+2x²+y>0
Das gilt sicherlich nicht immer. Ein Gegenbeispiel ist x=+1, y=-1
Damit ist gezeigt, daß das Ding nicht positiv definit ist. Du kannst den Beweis algebraisch sicherlich auch führen, am einfachsten ist aber manchmal ein simples Gegenbeispiel.
Und genau das wurde in deiner Lösung gemacht. Die [mm] b_i [/mm] sind die beiden Basisvektoren, und [mm] $\vec v=\vec b_1- \vec b_2=\vektor{1 \\ -1}=\vektor{x \\ y}$ [/mm] ist eben dieses Gegenbeispiel, nur so ausgedrückt, daß man es nicht sofort sieht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:41 Fr 06.10.2006 | | Autor: | vicky |
Einen wunderschönen guten Morgen zusammen,
Klasse, viele Dank für die super Antwort.
Noch kurz ne Frage am Rande. Habe gelesen das gewisse Untermatrizen >0 sein müssen um auch positiv definit zu zeigen. Das heißt soviel wie; ich habe eine Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] und es muß gezeigt werden das a>0 und [mm] ac-b^2 [/mm] > 0 ist. Dies würde darauf hinauslaufen das letztere Ungleichung nicht erfüllt werden würde und somit die o.g. Matrix nicht positiv definit ist oder argumentiert man so eher weniger ?
Nochmals herzlichen Dank, das hat mich in meinem mathematischen Denken wieder einen Schritt nach vorne gebracht
Schönen Tag noch und danke für die Hilfe.
Grüße
vicky
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Guten Morgen vicky
Da die beiden Aussagen äquivalent sind, ist es mehr oder weniger egal, wie du argumentierst. Allerdings hatte Horizon ja bereits geschrieben, daß meist ein simples Gegenbeispiel schneller geht, als ein ausführlicher Beweis.
Allerdings bleibt es letztendlich dir überlassen, wie du das machst.
Gruß,
Gono.
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