polynome und euklidisches lemm < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Fr 16.05.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | Sei [mm] f=x^n+a_n_-_1x^n^-^1+...+a_0 \in \\Z[T] [/mm] und sei [mm] \alpha \in \\Q [/mm] eine Wurzel von f. Zeigen sie [mm] \alpha \in \\Z [/mm] und [mm] \alpha|a_0.
[/mm]
(hierbei darf man das euklidische lemma benutzen) |
da [mm] \alpha [/mm] eine nullstelle ist muss sie ja das polynom teilen. wenn man das ohne rest haben will sollte alpha ja auch den rest teilen wobei der rest hier [mm] a_0 [/mm] ist. es ist jawie kann ich jetzt zeigen dass die wurzel in den ganzen zahlen liegt?
also es ist ja der vorfaktor von der höchstens potzen und [mm] a_0 [/mm] zu betrachten wenn ich mögliche nullstellen ausfinden möchten. also wenn ich das richtg verstadne hab müsst ich z.b. bei [mm] x^4+x^2+6 [/mm] betrachten: alle nullstelen zwischen -6 un6 in den nat zahlen?
bzw dass die wurzel [mm] a_o [/mm] teil. soll ich hir benutzen, dass [mm] \alpha [/mm] -> [mm] (\alpha,0,0,....), [/mm] aber was sagt mir das hier aus. dass kan ich nicht als beweis benutzen
ich bin gerade vollkommen überfragt.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestelt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Fr 16.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei [mm]f=x^n+a_n_-_1x^n^-^1+...+a_0 \in \\Z[T][/mm] und sei [mm]\alpha \in \\Q[/mm]
> eine Wurzel von f. Zeigen sie [mm]\alpha \in \\Z[/mm] und
> [mm]\alpha|a_0.[/mm]
>
> (hierbei darf man das euklidische lemma benutzen)
> da [mm]\alpha[/mm] eine nullstelle ist muss sie ja das polynom
> teilen.
nein $(x - [mm] \alpha)$ [/mm] muss das polynom teilen, nicht [mm] $\alpha$.
[/mm]
> wenn man das ohne rest haben will sollte alpha ja
> auch den rest teilen wobei der rest hier [mm]a_0[/mm] ist. es ist
> jawie kann ich jetzt zeigen dass die wurzel in den ganzen
> zahlen liegt?
> also es ist ja der vorfaktor von der höchstens potzen
> und [mm]a_0[/mm] zu betrachten wenn ich mögliche nullstellen
> ausfinden möchten. also wenn ich das richtg verstadne hab
> müsst ich z.b. bei [mm]x^4+x^2+6[/mm] betrachten: alle nullstelen
> zwischen -6 un6 in den nat zahlen?
> bzw dass die wurzel [mm]a_o[/mm] teil. soll ich hir benutzen, dass
> [mm]\alpha[/mm] -> [mm](\alpha,0,0,....),[/mm] aber was sagt mir das hier
> aus. dass kan ich nicht als beweis benutzen
nimm an, dass [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \frac{r}{s}$ [/mm] mit teilerfremden $r, s$ (sonst kürzen) und setze dies ein. multiplitziere mit [mm] $s^n$, [/mm] so dass die nenner verschwinden und bringe nun alle ausdrücke ausser [mm] $r^n$ [/mm] auf die andere seite - diese enthalten alle mindestens $s$ zur ersten potenz, klammere dies aus. was kann man nun über die teilbarkeit von $r$ durch $s$ aussagen? darf das (nach den voraussetzungen) passieren?
probiere mal, wie weit du mit diesem ansatz kommst.
grüße
andreas
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