polstelle komplex? < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben Sei die folgende Laplace-Transformierte H(p) eines kausalen Zeitsignals h(t):
[mm] H(p)=\bruch{p^{2}-1}{1-e^{\pi p}}
[/mm]
Bestimmen sie die Postellen |
Also eine Polstelle zu berechnen ist ja normalerweise nicht so das Problem:
[mm] 1-e^{\pi p}=0
[/mm]
[mm] e^{\pi p}=1
[/mm]
bloss wie kann ich nun die p-Werte aus der e-Funktion herausbekommen?
In der Lösung steht dafür:
[mm] p_{k}=j2k [/mm]
[mm] k\varepsilon \IZ
[/mm]
also ich hätte eher den ln angewendet oder was ähnlich...kann mir jemand weiterhelfen, wi man auf die Lösung kommt?
lg
chasekimi
|
|
| |
|
Hallo chasekimi,
das liegt daran, dass in [mm] $\IC$ [/mm] die Exponentialfunktion [mm] $2\pi [/mm] j$-periodisch ist.
Also [mm] $e^{z}=e^{z+2k\pi j}$ [/mm] für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] und alle [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
Und daher [mm] $1=e^0=e^{0+2k\pi j}=e^{2k\pi j}\overset{!}{=}e^{\pi p}$
[/mm]
Also [mm] $2k\pi j=\pi p\Rightarrow [/mm] p=2kj$
"Einfach" den [mm] $\ln$ [/mm] anzuwenden ist problematisch, da der in [mm] $\IC$ [/mm] mehr- bzw. vielwertig ist
LG
schachuzipus
|
|
|
|
