pktw. und glm. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie mit Begründung, ob folgende Funktionsfolgen [mm] \{f_n\}_n_\in_\IN [/mm] mit [mm] f_n:X\to\IR [/mm] punktweise und/ oder gleichmäßig konvergent sind für [mm] n\to\infty, [/mm] wobei [mm] X\subset\IR [/mm] die von der euklidischen Metrik auf [mm] \IR [/mm] induzierte Metrik tragen soll. Im Falle punktweise und/oder gleichmäßiger Konvergenz, geben Sie die Grenzfnktion an.
a) X=[0,1], [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] x^n-x^{n^2}
[/mm]
b) X= (-1,1), [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{n^3+nx+1}{n^2+x+1}
[/mm]
c) X=(0,1), [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{x}{n} ln(\bruch{x}{n})
[/mm]
d) [mm] X=(0,\infty), f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[n]{x}}{\wurzel[x]{n}}
[/mm]
e) [mm] X=(1,\infty), f_n(x)= \bruch{n^\wurzel[n]{x}}{x^n}
[/mm]
f) X= [mm] [1,\infty), f_n(x)= \wurzel[n]{1+x^n} [/mm] |
Hallo,
ich weiß, dass es ziemlich viel ist, aber ich hoffe, dass sich jemand die Zeit nimmt meine Lösungsvorschläge anzusehen und mir bei meinen restlichen Problemen hilft! Vor allem weil ich noch Probleme habe mit dem Beweisen von punktweise und gleichmäßiger Konvergenz.
a) X=[0,1], [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] x^n-x^{n^2}
[/mm]
Fall 1: x=0 [mm] 0^n-0^{n^2} [/mm] = 0
Fall 2: x=1 [mm] 1^n-1^{n^2} [/mm] = 1-1 = 0
Fall 3: 0<x<1
[mm] f_n(x)= x^n-x^{n^2} [/mm] = [mm] x^n*(1-\bruch{x^n^^^^2}{x^n})= x^n*(1-x^{n^2^-n})\le x^n*(1-x^{n^2})
[/mm]
Betrachte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \underbrace{x^n}_{=0}*(\underbrace{1}_{=1}-\underbrace{x^n^2}_{=0})=0*(1-0)=0
[/mm]
Aus Fall 1-3 folgt [mm] f_n(x) [/mm] ist punktweise konvergent mit Grenzfunktion f(x)=0
[mm] |f(x)-f_n(x)|=|0-(x^n-x^{n^2})|=|-(x^n-x^{n^2})| [/mm] = [mm] x^n-x^{n^2} \le x^n\le 1^n [/mm] = 1
Daraus folgt, dass [mm] f_n(x) [/mm] gleichmäßig konvergent ist.
b) X= (-1,1), [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{n^3+nx+1}{n^2+x+1}
[/mm]
[mm] \bruch{n^3+nx+1}{n^2+x+1} [/mm] = [mm] \bruch{n^3*(1+\bruch{x}{n^2}+\bruch{1}{n^3})}{n^2*(1+\bruch{x}{n}+\bruch{1}{n^2})} [/mm] = [mm] \bruch{n*(1+\bruch{x}{n^2}+\bruch{1}{n^3})}{1+\bruch{x}{n}+\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*(1+\bruch{x}{n^2}+\bruch{1}{n^3})}{1+\bruch{x}{n}+\bruch{1}{n^2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{1}{1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Funktionsfolge ist divergent, daher ist sie weder punktweise noch gleichmäßig konvergent
c) [mm] X=(0,1)=f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{x}{n} ln(\bruch{x}{n})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{ln(x)} [/mm] = [mm] \infty \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln(x)}{x} [/mm] = 0
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben, dann existiert M > 0, sodass x > M [mm] \Rightarrow \bruch{ln(x)}{x} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Sei n > M
Da [mm] \bruch{x}{n} \le \bruch{1}{n} [/mm] folgt [mm] ln(\bruch{x}{n}) [/mm] < 0
[mm] \Rightarrow |x_n(ln(\bruch{x}{n}))| [/mm] = [mm] -\bruch{x}{n}ln(\bruch{x}{n}) =\bruch{ln\bruch{x}{n}}{\bruch{x}{n}} \underbrace{<}_{(da\bruch{n}{x} > M \forall x \in (0,1))} \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x}{n} [/mm] ln [mm] (\bruch{x}{n}) \to\to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] gleichmäßig konvergent mit Grenzfunktion [mm] f(x)=x_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da [mm] f_n(x) [/mm] gleichmäßig konvergent ist, ist die Funktionsfolge auch punktweise konvergent
d) [mm] X=(0,\infty), f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[n]{x}}{\wurzel[x]{n}}
[/mm]
Sei x \ in [mm] (0,\infty) [/mm] fest aber beliebig
Nach Vorlesung weiß ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{x} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[x]{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{x}}{\wurzel[x]{n}} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] punktweise konvergent mit Grenzfunktion f(x)=0
Wie ich die gleichmäßige Konvergenz beweisen soll, weiß ich leider nicht. Ich habe schon probiert das abzuschätzen, aber irgendwie komme ich dabei auf kein sinnvolles Ergebnis. Ich denke meine Abschätzungsversuche sind einfach falsch. Ich wäre über Hilfe sehr dankbar!!
e) [mm] X=(1,\infty), f_n(x)= \bruch{n^\wurzel[n]{x}}{x^n}
[/mm]
Bei der Aufgabe bin ich leider auch total hilflos was punktweise und gleichmäßige Konvergenz betrifft. Auch hier würde ich mich sehr über Hilfe freuen!!
f) X= [mm] [1,\infty), f_n(x)= \wurzel[n]{1+x^n}
[/mm]
Behauptung: [mm] f_n(x)\to\to [/mm] x
Beweis: Sei x [mm] \in [1,\infty) [/mm] beliebig
[mm] |\underbrace{\wurzel[n]{x^n+1}}_{\ge x}-x| [/mm] = [mm] x*(\underbrace{\wurzel[n]{1+\bruch{1}{x^n}}}_{=:y}-1) [/mm] := (*)
Behauptung: [mm] y_n [/mm] < [mm] \bruch{1}{nx^n} \le \bruch{1}{nx}
[/mm]
Beweis: 1+ [mm] \bruch{1}{x^n} [/mm] = [mm] (1+y_n)^n \ge 1+ny_n \Rightarrow y_n \le \bruch{1}{nx^n}
[/mm]
(*) = [mm] xy_n \le \bruch{1}{nx^n^-^1}\underbrace{\le}_{x \in [1,\infty]} \bruch{1}{n} \to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] gleichmäßig konvergent
[mm] \Rightarrow [/mm] punktweise konvergent mit Grenzfunktion f(x)=x
Ich hoffe jemand nimmt sich die Zeit und kann mir helfen und vielen Dank im Voraus an jeden der mir helfen möchte!
Lieben Gruß
Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 26.06.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso ist f:n gleichmäsig konvergent gegen f(x) wenn gilt| [mm] f_n-f|<=1?
[/mm]
du hast doch schon darüber gezeigt dass [mm] f_n [/mm] für ALLE x gegen 0 konvergiert? damit gegen die steitge grenzfunktion f=0 also glm Konvergenz.
b) ist richtig, c)
wie kommst du auf
$ [mm] -\bruch{x}{n}ln(\bruch{x}{n}) =\bruch{ln\bruch{x}{n}}{\bruch{x}{n}} \underbrace{<}_{(da\bruch{n}{x} > M \forall x \in (0,1))} \varepsilon [/mm] $
das ist falsch du kannst x*lnx nicht in ln(x)/x verwandeln egal was x ist.
betrachte x*ln(x)= ln(x)/(1/x) mit L'Hopital.
woher hast du x/ln(x) gegen [mm] \infty [/mm] für x gegen [mm] \infty?
[/mm]
d) $ [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[x]{n} [/mm] $ ist falsch! der GW ist 1
da für x=0 der GW 0 ist sonst 1 ist die fkt nicht glm konvergent.
e) setze [mm] n=e^{ln(n)} [/mm] und betrachte zuerst [mm] ln(n)*x^{1/n}
[/mm]
erstmal so weit, poste so viele aufgaben nicht in einem thread, da verliert man schnell die Lust zum korrigieren.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Fr 26.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Bei a) bin ich anderer Meinung als leduart ! [mm] (f_n) [/mm] konv. auf [0,1] nicht glm., denn
[mm] |f_n(\bruch{1}{\wurzel[n]{2}})| \to [/mm] 1/2
FRED
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