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Forum "Uni-Lineare Algebra" - permutationen
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permutationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 So 27.11.2005
Autor: bobby

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe auf und hab schon ein paar Sachen dazu gerechnet, vielleicht kann mal jemand gucken, ob das soweit richtig ist.

Ich hab zwei Permutationen gegeben:
[mm] a=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 4 & 7 & 1 & 2 & 6 & 3 } [/mm]
[mm] b=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 6 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 } [/mm]

Jetzt sollte ich a [mm] \circ b^{-1} [/mm] berechnen, da ist meine Lösung:
a [mm] \circ b^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 7 & 6 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 7 & 1 & 2 & 6 & 3 }. [/mm]

Dann soll ich a als disjunkte Zyklen darstellen, da hab ich folgendes:
a = (1 5 2 4) [mm] \circ [/mm] (3 7) [mm] \circ [/mm] (6).

Und schließlich sollte ich b als Transpositionen darstellen:
b = (1 7) [mm] \circ [/mm] (2 6) [mm] \circ [/mm] (3 4) [mm] \circ [/mm] (3 5).

Bei der letzten Aufgabe wusste ich nicht mehr so recht weiter, wie ich das machen soll, da soll ich [mm] a^{4} [/mm] und [mm] a^{1001} [/mm] bestimmen, soll dass sowas wie [mm] a^{4} [/mm] = a [mm] \circ [/mm] a [mm] \circ [/mm] a [mm] \circ [/mm] a sein???

        
Bezug
permutationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 So 27.11.2005
Autor: felixf


> Hallo!
>  
> Ich habe folgende Aufgabe auf und hab schon ein paar Sachen
> dazu gerechnet, vielleicht kann mal jemand gucken, ob das
> soweit richtig ist.
>  
> Ich hab zwei Permutationen gegeben:
>  [mm]a=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 4 & 7 & 1 & 2 & 6 & 3 }[/mm]
>  
> [mm]b=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 6 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 }[/mm]
>  
> Jetzt sollte ich a [mm]\circ b^{-1}[/mm] berechnen, da ist meine
> Lösung:
>  a [mm]\circ b^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 7 & 6 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 7 & 1 & 2 & 6 & 3 }.[/mm]

Sieht ok aus.

> Dann soll ich a als disjunkte Zyklen darstellen, da hab ich
> folgendes:
> a = (1 5 2 4) [mm]\circ[/mm] (3 7) [mm]\circ[/mm] (6).

Genau.

> Und schließlich sollte ich b als Transpositionen
> darstellen:
>  b = (1 7) [mm]\circ[/mm] (2 6) [mm]\circ[/mm] (3 4) [mm]\circ[/mm] (3 5).

Jep.

> Bei der letzten Aufgabe wusste ich nicht mehr so recht
> weiter, wie ich das machen soll, da soll ich [mm]a^{4}[/mm] und
> [mm]a^{1001}[/mm] bestimmen, soll dass sowas wie [mm]a^{4}[/mm] = a [mm]\circ[/mm] a
> [mm]\circ[/mm] a [mm]\circ[/mm] a sein???

Genau. Bei dieser Aufgabe kannst du beachten, dass disjunkte Zyklen kommutieren, also z.B. (1 2) (3 4) = (3 4) (1 2). Und denk mal drueber nach was die Ordnung eines Zykels der Laenge n ist. Und benutz den kleinen Satz von Fermat.


Bezug
                
Bezug
permutationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 So 27.11.2005
Autor: bobby

Danke, dann hab ich das ja doch ganz gut verstanden mit den Permutationen...
Zum letzten Teil habe ich jetzt

[mm] a^{4} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 } [/mm] und
[mm] a^{1001} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 4 & 7 & 1 & 2 & 6 & 3 } [/mm]

ermittelt, kann das hinkommen???

Bezug
                        
Bezug
permutationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 So 27.11.2005
Autor: felixf


> Danke, dann hab ich das ja doch ganz gut verstanden mit den
> Permutationen...

Das ist schoen :-)

>  Zum letzten Teil habe ich jetzt
>
> [mm]a^{4}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 }[/mm]
> und
>  [mm]a^{1001}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 4 & 7 & 1 & 2 & 6 & 3 }[/mm]
>  
> ermittelt, kann das hinkommen???

Jep, das stimmt. Die Ordnung von [mm]a[/mm] ist 4, womit [mm]a^4 = a^0 = \mathbf{id}[/mm] ist und [mm]a^{1001} = a^{1000} \circ a = a^{4 \cdot 250} \circ a = \mathbf{id} \circ a = a[/mm].


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