partikuläre lösung DGL 2. ordnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 13.06.2004 | | Autor: | muh |
hallo,
mir fehlt ein geistesblitz um folgende partikuläre lsg. eine inhomogenen dgl 2. ordnung zu bilden:
y'' + 4y' + 4y = x[1 - e^(-2x)]
die part. lösung zu "-xe^(-2x)" bekomme ich hin, nur wie sieht die vorgehnsweise zur komplette partikuläre lösung aus...?
vielen dank schon mal für die hilfe!
ciao maik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 So 13.06.2004 | | Autor: | andreas |
hi maik
im moment fällt mir nur die sture "mit dem kopf durch die wand"-methode ein.
zu linearen, homogenen, autonomen differentialgleichungen 2ter ordnung (also in denen die funktion und ihre beiden ersten ableitungen vorkommen) erhältst du ein 2-dimensionales fundamentalsystem, also 2 linear unabhängige lösungen.
die eine ist die von dir angegebene [m] y_1(x) = xe^{-2x} [/m] eine andere - davon linear unabhängige - ist [m] y_2(x) = e^{-2x} [/m]
nun kannst du mit dem ansatz
[mm] \begin{center} \begin{equation} c_1'y_1 + c_2'y_2 = 0 \end{equation} \begin{equation} c_1' y_1' + c_2' y_2 ' = x(1 - e^{-2x}) \end{equation} \end{center}[/mm]
zwei funktionen [m] c_1(x) [/m] und [m] c_2(x) [/m] bestimmen. dann erhältst du durch [m] y_p(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x) [/m] eine partikuläre lösung. alle lösungen der von dir angegebenen differentialgleichung ergeben sich dann - genau wie bei inhomogenen linearen gleichungssystemen - als [m] y(x) = y_p(x) + k_1y_1(x) + k_2 y_2(x), \quad k_1, k_2 \in \mathbb{K} [/m], wobei [m] \mathbb{K} \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C} \} [/m], je nachdem über welchem körper du arbeitest.
ich hoffe du kommst damit weiter, sonst melde dich nochmal.
andreas
ps als vorschlag für eine partikuläre lösung hätte ich [m]y_p(x) = \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{x^3}{6}e^{-2x} [/m].
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