partikuläre Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:22 So 16.09.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
meine Lösung differiert von der im Buch. Ich dachte, ich frag mal hier.
[mm]y'''+9*y' = 18x[/mm]
[mm]\lambda^{3} + 9*\lambda = 0[/mm]
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 0 [mm] \lambda_{2,3} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 3i
[mm]y_{h} = C_{1} + C_{2}*sin(3x) + C_{3}*cos(3x)[/mm]
Die homogene Lösung ist in Ordnung.
[mm]y_{p} = Ax^{2} + Bx[/mm]
[mm]y_{p}' = 2Ax + B[/mm]
[mm]y_{p}'' = 2A [/mm]
[mm]y_{p}''' = 0[/mm]
Wenn man jetzt mit den Ableitungen in die DGL eingeht
[mm]18 A x +9B = 18 x[/mm]
daraus erhalte ich
A = 1 und B = 0 mit [mm] y_{p} [/mm] = [mm] x^{2}
[/mm]
Das Buch meint aber [mm] y_{p} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + 2.
Wo liegt der Fehler ?
Vielen Dank für die Mühwaltung.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martinius!
Ich würde hier sogar erweitern auf [mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] x^2+k$ ($k\in\IR$ [/mm] beliebig). Hast Du denn auch noch einen Anfangswert gegeben?
Ich würde hier nämlich substituieren: $z \ := \ y'$ und erhalte dann folgende DGL:
$$z''+9*z \ = \ 18x$$
Damit erhalte ich: [mm] $z_P [/mm] \ = \ 2x$ und daraus dann [mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] \integral{z_P \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{2x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2+k$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 So 16.09.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Loddar,
Anfangswerte hab ich gegeben, aber daraus kann man nur die Konstanten der homogenen DGL bestimmen:
[mm] y_{\pi} [/mm] = [mm] \pi^{2} [/mm]
[mm] y_{\pi}' [/mm] = [mm] 2\pi [/mm]
[mm] y_{\pi}'' [/mm] = 20
spezielle Lsg.: y = 2cos(3x) + [mm] x^{2} [/mm] - 2
Aber mit deiner beliebigen Konstanten k hast Du recht. Das Absolutglied von [mm] y_{p} [/mm] tritt in der DGL ja gar nicht mehr auf.
Die Substitution y' = z wird in dem Buch leider nicht behandelt.
Vielen Dank für den Hinweis.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 So 16.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Martinius,
Deinen Ansatz vom Typ der rechten Seite kann ich nachvollziehen und ich finde auch keinen Fehler darin. Einfaches Einsetzen zeigt ja auch, dass diese Lösung gültig ist. Ich vermute, dass es irgendwo in der Aufgabe noch eine Nebenbedingung gibt, die zu diesem konstanten Faktor führt.
Viele Grüße,
Infinit
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