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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Gopal |
Hallo,
ich soll eine Stammfunktion für f(x)=x*arctan x bestimmen.
mittels partieller integration bin ich auf folgendes gekommen:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) dx} = arctan x * [mm] \bruch{1}{2} X^{2} [/mm] - [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+x^2}* \bruch{1}{2} X^{2} [/mm] dx}
aber was mache ich jetzt? ich komme da nicht weiter.
gruß
gopal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Max |
Hi gopal,
na ganz einfach, du kannst jetzt den Integranden weiter zerlegen zu
[mm] $\frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{2}x^2 [/mm] = - [mm] \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{1+x^2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \cdot \frac{1+x^2-1}{1+x^2}=-\frac{1}{2}\cdot \left( 1- \frac{1}{1+x^2}\right)$
[/mm]
Dieser Integrand besteht aus zwei elementar integrierbaren Funktion und sollte kein Problem mehr sein.
Poste noch das Ergebnis, damit wir kontrollieren können.
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Gopal |
> Hi gopal,
>
> na ganz einfach, du kannst jetzt den Integranden weiter
> zerlegen zu
>
> [mm]\frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{2}x^2 = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{1+x^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1+x^2-1}{1+x^2}=-\frac{1}{2}\cdot \left( 1- \frac{1}{1+x^2}\right)[/mm]
>
> Dieser Integrand besteht aus zwei elementar integrierbaren
> Funktion und sollte kein Problem mehr sein.
>
> Poste noch das Ergebnis, damit wir kontrollieren können.
vielen dank für deine hilfe.
jetzt ist es ja einfach, da ja (arctan x)'= [mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
also:
[mm] \integral_{}^{} {f(x) dx}= \bruch{1}{2} (x^2*arctan x + arctan x - x)[/mm]
stimmt das so?
aber wie kommt man auf [mm] \frac{1+x^2-1}{1+x^2}= \frac{1}{2}\cdot \left( 1- \frac{1}{1+x^2}\right)
[/mm]
das kann ich nicht sehen, würde ich aber gerne, weil ich da ja hängen geblieben bin.
grüße
gopal
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Hi, gopal,
Du kannst den Term [mm] x^{2}*\bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}+1} [/mm]
so umformen wie Brackhaus das vorgeschlagen hat, also:
[mm] \bruch{x^{2} + 1 - 1}{x^{2}+1} [/mm]
= [mm] \bruch{(x^{2} + 1) - 1}{x^{2}+1} [/mm]
= [mm] \bruch{x^{2} + 1}{x^{2}+1} [/mm] - [mm] \bruch{ 1}{x^{2}+1}
[/mm]
= 1 - [mm] \bruch{ 1}{x^{2}+1}
[/mm]
oder Du machst einfach Polynomdivision:
[mm] x^{2} [/mm] : [mm] (x^{2} [/mm] + 1) = 1 - [mm] \bruch{ 1}{x^{2}+1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Gopal |
vielen dank!
so einfach ist dfas also :)
gopal
> Hi, gopal,
>
> Du kannst den Term [mm]x^{2}*\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^{2}}{x^{2}+1}[/mm]
> so umformen wie Brackhaus das vorgeschlagen hat, also:
> [mm]\bruch{x^{2} + 1 - 1}{x^{2}+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{(x^{2} + 1) - 1}{x^{2}+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{x^{2} + 1}{x^{2}+1}[/mm] - [mm]\bruch{ 1}{x^{2}+1}[/mm]
> = 1 -
> [mm]\bruch{ 1}{x^{2}+1}[/mm]
>
> oder Du machst einfach Polynomdivision:
> [mm]x^{2}[/mm] : [mm](x^{2}[/mm] + 1) = 1 - [mm]\bruch{ 1}{x^{2}+1}[/mm]
>
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