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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Di 07.06.2005 | | Autor: | bobby |
Ich hab ein Problem bei der folgenden Aufgabe:
Die Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR [/mm] sei definiert durch [mm] f(x,y)=\begin{cases}0,&\mbox{für}x=y=0\\(x^{2}-y^{2})sin\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}},&\mbox{sonst}\end{cases}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen in jedem Punkt [mm] (x,y)\in\IR^{2}.
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) unstetig sind.
c) Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt [mm] (x,y)\in\IR^{2} [/mm] differenzierbar ist und bestimmen Sie die Jacobi-Matrix.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Di 07.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm, ich hab die gleiche Aufgabe nur mit [mm] x^2+y^2....., [/mm] aber kann dir ja paar Hilfen geben...
Die Partiellen Ableitungen wirst du schnell finden:
Ich bin gerade bissle faul, daher gilt:
[mm] a=x^2-y^2 [/mm] und b= [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
Zum überprüfen:
[mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x}= \bruch{-x*a*cos(b)}{(x^2+y^2)^{ \bruch{3}{2}}}+2x*sin(b)
[/mm]
[mm] \bruch{ \partial f}{ \partial y}= \bruch{-y*a*cos(b)}{(x^2+y^2)^{ \bruch{3}{2}}}+2y*sin(b)
[/mm]
So um die Unstetigkeit der partiellen Ableitungen zu überprüfen, reicht es wegen der Symmetrie (glaub ich) eine zu überprüfen (aber ist eh gleiches Verfahren).
Dafür betrachtest du [mm] (x_n,y_n)=( \bruch{1}{n},0), [/mm] was ja gegen (0,0) konvergiert, für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}.
[/mm]
Bestimme f( [mm] \bruch{1}{n},0). [/mm] Rauskommen wird etwas nicht konvergentes. Also ist schon mal die partielle Ableitung nach x in (0,0) nicht stetig.
Gleiches mit y (Auch dort nicht stetig)
Das f diffbar für [mm] (x,y)\not=0 [/mm] ist folgt aus der Verkettung diffbarrer Funktionen !Dann musst nur noch zeigen, dass f aber auch in (0,0) diffbar ist. Das musst du dann noch zeigen...
Faenôl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 07.06.2005 | | Autor: | bobby |
Oh, ich hatte mich auch verschrieben, bei mir ist es auch mit +.
Die partiellen Ableitungen habe ich soweit auch bestimmt.Ich versteh nur das mit Aufgabe b) nicht so recht... Da kommt bei mir [mm] f(\bruch{1}{n},0)=\bruch{1}{n^{2}}sin(n) [/mm] raus und das konvergiert doch dann für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0 oder nicht? Das mit [mm] (x_{n},y_{n})=(\bruch{1}{n},0) [/mm] ist mir auch klar, nur woraus bzw. wie bestimme ich dann den limes?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Vielleicht hast du dich bei den Ableitungen vertan,denn es gilt:
[mm] f(\bruch{1}{n},0)= \bruch{2}{n}sin(n)-cos(n)=f(0,\bruch{1}{n})
[/mm]
Und das ist nicht konvergent...
So nun musst du aber noch zeigen, dass die partielle Ableitung nach x (sowie nach y) an dem Punkt (0,0) jedoch existieren...
Das Ergebnis ist 0.
Weißt du, wie man das macht ?
Demnach kannst du nun schließen, dass die partiellen Ableitungen in (0,0) existieren, aber unstetig sind
Gruß
Faenôl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 08.06.2005 | | Autor: | bobby |
Also meinen Fehler habe ich gefunden,aber wie zeige ich nun, dass die partiellen Ableitungen in (0,0) existieren, ich dachte das ist sowieso so, wegen Teil a)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Do 09.06.2005 | | Autor: | Berti |
hallo, soweit ich weiß sollen wir für den Punkt (0,0) den Differenzenquotienten ansetzen. dann müsste das klappen
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