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| Aufgabe | Berechnen Sie alle ersten partiellen Ableitungen der Funktion
$ f : [mm] R^{\*} [/mm] × R × [mm] R^{+} \to [/mm] R: $
$ f(x, y, z) = sin(x) + y - [mm] \bruch{ln(z)}{x} [/mm] $
Bestimmen Sie die Richtung des maximalen Anstiegs von f
im Punkt (x, y, z) = [mm] (\pi, [/mm] 1,1 ) |
Hallo,
ich habe einige Fragen dazu und hoffe,
dass ihr sie mir beantworten könnt.
Also erstmal wo liegt der Unterschied zwischen den Räumen
$ [mm] R^{\*} [/mm] × R × [mm] R^{+} [/mm] $
und in wie fern wirkt sich das auf meine Aufgabe aus?
Dann zum partielle Ableiten,
(ich gehe mal davon aus, dass die verschiedenen Räume sich nciht darauf auswirken)
ich leite nach einer vorgegebenen Variable ab und stelle mir den Rest als Konstante vor.
gut soweit,
also habe ich raus
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = cos(x) + [mm] \bruch{ln(z)}{x^{2}} [/mm] $
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = 2y $
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial z} [/mm] = 0.5 [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $
die sollten eigentlich richtig sein,
und wie bestimme ich denn die Richtung des maximalen Anstiegs von f im Punkt
(x, y, z) = [mm] (\pi, [/mm] 1,1 )???
da habe ich noch gar keine ahnung.
danke schonmal für die antworten,
Wulfstone
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Sa 23.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Berechnen Sie alle ersten partiellen Ableitungen der
> Funktion
> [mm]f : R^{\*} × R × R^{+} \to R:[/mm]
> [mm]f(x, y, z) = sin(x) + y - \bruch{ln(z)}{x}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Richtung des maximalen Anstiegs von f
> im Punkt (x, y, z) = [mm](\pi,[/mm] 1,1 )
> Hallo,
> ich habe einige Fragen dazu und hoffe,
> dass ihr sie mir beantworten könnt.
> Also erstmal wo liegt der Unterschied zwischen den Räumen
> [mm]R^{\*} × R × R^{+}[/mm]
> und in wie fern wirkt sich das auf
> meine Aufgabe aus?
Ihr habt [mm] \IR^{\*} [/mm] sicher definert als [mm] \IR \backslash{0} [/mm] , also alle reellen Zahlen ohne 0. Du musst ja bedenken, dass sich [mm] \IR^{\*} [/mm] auf das x "bezieht." Und du hast x einmal im Nenner, und der darf ja nicht null werden.
Das [mm] \IR [/mm] "bezieht" sich aufs y. Und das y darf darf alle reellen Zahlen annehmen.
Und im letzten Fall [mm] \IR^{+} [/mm] bezieht es sich auf das z. Und da ln(z) nur für z>0 definiert ist, dürfen auch nur alle positiven reellen Zahlen angenommen werden.
>
> Dann zum partielle Ableiten,
> (ich gehe mal davon aus, dass die verschiedenen Räume sich
> nciht darauf auswirken)
> ich leite nach einer vorgegebenen Variable ab und stelle
> mir den Rest als Konstante vor.
> gut soweit,
> also habe ich raus
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = cos(x) + \bruch{ln(z)}{x^{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y} = 2y[/mm] ich habe da 1 raus, wenn ich nach y ableite!
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z} = 0.5 \bruch{1}{x}[/mm] und hier bekomme ich
[mm] -\bruch{1}{x}*\bruch{1}{z} [/mm] heraus. Rechne doch noch einmal nach.
>
> die sollten eigentlich richtig sein,
>
> und wie bestimme ich denn die Richtung des maximalen
> Anstiegs von f im Punkt
> (x, y, z) = [mm](\pi,[/mm] 1,1 )???
> da habe ich noch gar keine ahnung.
Da musst du mit dem Gradienten arbeiten.
Siehe hierzu: ![[]](/images/popup.gif) Gradient.
MfG
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Sa 23.06.2007 | | Autor: | wulfstone |
danke für die ausführliche antwort,
aber ich habe ein fehler in der aufgabenstellung gemacht,
da lautet es [mm] y^{2} [/mm] und deshalb auch 2y
okay
und bei der dritten habe ich mich vertan stimmt,
ich habe nach x abgeleitet nicht nach z,
da hast du vollkommen recht,
gut ich lese mir mal deinen link durch und hoffe ich kann es damt lösen,
nochmals danke,
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so ich habe mir jetzt die dinge mit dem gradienten durchgelesen,
ich habe also als gradient
grad(f) = [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x} \\ \bruch{\partial f}{\partial y\\ \bruch{\partial f}{\partial z}}}
[/mm]
also:
grad(f) = [mm] \vektor{ cos(x) + \bruch{ln(z)}{x^{2}} \\ 2y \\ -\bruch{1}{x*z}}
[/mm]
und wie bestimme ich denn die Richtung des maximalen
> Anstiegs von f im Punkt
> (x, y, z) = $ [mm] (\pi, [/mm] $ 1,1 )???
muss ich einfach nur einsetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, der grad zeigt in die Richtung des max. Anstiegs!
aber meist gibt man Richtungen mit Einheitsvektoren an.
also entweder In Richtung grad, mit den eingesetzten Zahlen, oder noch durch den Betrag dividieren.
Gruss leduart
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