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Forum "Integrationstheorie" - partielle Integration
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partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 So 08.02.2009
Autor: Lyrone

Aufgabe
Bilden Sie eine Stammfunktion zu:

[mm]\integral{\frac{3+x}{1+\wurzel{2+x}} dx}[/mm]

Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe irgendwie nicht klar.

Am Anfang habe ich [mm]u := \wurzel{2+x}[/mm] substituiert

[mm]\integral{\frac{3+x}{1+\wurzel{2+x}} dx}[/mm]

[mm]dx = du\cdot 2\cdot{}u[/mm]

[mm]x=u^2-2[/mm]

[mm]\integral{\frac{(u^2+1)\cdot2u}{1+u} du}=2\left(\integral{\frac{u^3}{1+u} du}+\integral{\frac{u}{1+u} du}\right)[/mm]

Und das wars ... jetzt kommt die Ratestunde.

Ich betrachte soerst [mm]\integral{\frac{u}{1+u} du}[/mm] aber mit [mm]\integral{\frac{u^3}{1+u} du}[/mm] würde ich genauso umgehen.

[mm]\integral{u\cdot\frac{1}{1+u} du}[/mm]

Hier möchte ich nun Partielle Integration Anwenden.
[mm]\integral{u\cdot\frac{1}{1+u} du}=u\cdot\ln(1+u)-\integral{\ln(1+u) du}=u\cdot\ln(1+u)-u\cdot(\ln(1+u)-1)=u\cdot\ln(1+u)-u\cdot\ln(1+u)+u=u[/mm]

Und das ist []falsch.

Wo habe ich mich vertan?

        
Bezug
partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 So 08.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Lyrone,

> Bilden Sie eine Stammfunktion zu:
>  
> [mm]\integral{\frac{3+x}{1+\wurzel{2+x}} dx}[/mm]
>  Hallo,
>  ich komme mit dieser Aufgabe irgendwie nicht klar.
>  
> Am Anfang habe ich [mm]u := \wurzel{2+x}[/mm] substituiert
>  
> [mm]\integral{\frac{3+x}{1+\wurzel{2+x}} dx}[/mm]
>  
> [mm]dx = du\cdot 2\cdot{}u[/mm]
>  
> [mm]x=u^2-2[/mm]
>  
> [mm]\integral{\frac{(u^2+1)\cdot2u}{1+u} du}=2\left(\integral{\frac{u^3}{1+u} du}+\integral{\frac{u}{1+u} du}\right)[/mm]

[daumenhoch]

alles bestens soweit!

>  
> Und das wars ... jetzt kommt die Ratestunde.
>  
> Ich betrachte soerst [mm]\integral{\frac{u}{1+u} du}[/mm] aber mit
> [mm]\integral{\frac{u^3}{1+u} du}[/mm] würde ich genauso umgehen.
>  
> [mm]\integral{u\cdot\frac{1}{1+u} du}[/mm]
>  
> Hier möchte ich nun Partielle Integration Anwenden.
>  [mm]\integral{u\cdot\frac{1}{1+u} du}=u\cdot\ln(1+u)-\integral{\ln(1+u) du}=u\cdot\ln(1+u)-u\cdot(\ln(1+u)-1)=u\cdot\ln(1+u)-u\cdot\ln(1+u)+u=u[/mm]
>  
> Und das ist
> []falsch.
>  
> Wo habe ich mich vertan?

Bei der Berechnung von [mm] $\int{\ln(1+u) \ du}$. [/mm] Das ist [mm] $(1+u)\cdot{}\ln(1+u)-u$ [/mm]

Ich würde aber auch nicht über partielle Integration gehen.

Das hintere Integral [mm] $\int{\frac{u}{u+1} \ du}$ [/mm] kannst du schreiben als [mm] $\int{\frac{u+1-1}{u+1} \ du}=\int{\left(1-\frac{1}{u+1}\right) \ du}$ [/mm]

Das ist dann puppieinfach

Beim ersten Integral mache mal zuerst eine Polynomdivision

[mm] $u^3:(u+1)=u^2-u+1+\frac{1}{u+1}$ [/mm] (ohne Gewähr --> nachrechnen)

Dann ist [mm] $\int{\frac{u^3}{u+1} \ du}=\int{\left(u^2-u+1+\frac{1}{u+1}\right) \ du}$ [/mm]

wieder einfach ...


Auf die Vorzeichen musst du achten ;-)

LG

schachuzipus
>  

Bezug
                
Bezug
partielle Integration: Vielen Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 So 08.02.2009
Autor: Lyrone

Danke schachuzipus für die guten Tips. Hast der Aufgabe aufjedenfall den Schwierigkeitsgrad genommen. Wünsche dir noch einen schönen Abend.
Bezug
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