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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mi 02.02.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Ich soll dei Stammfunktion von [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] auf [-1,1] durch partielle Integration ermitteln.
Ich hab bisher das:
[mm] \integral_{-1}^{1} \wurzel{1-x^{2}}\ [/mm] = [mm] x\wurzel{1-x^{2}} [/mm] + arcsin x - [mm] \integral_{-1}^{1} \wurzel{1-x^{2}}\ [/mm]
wie komm ich jetzt auf:
[mm] \integral_{-1}^{1} \wurzel{1-x^{2}}\ [/mm] = 1/2( [mm] x\wurzel{1-x^{2}} [/mm] + arcsin x) ??
danke schon mal für euere antworten.
mfg
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
> Ich hab bisher das:
> [mm]\integral_{-1}^{1} \wurzel{1-x^{2}} \ = \ x*\wurzel{1-x^{2}} + \arcsin (x) - \integral_{-1}^{1} \wurzel{1-x^{2}}\[/mm]
Du hast doch jetzt auf beiden Seiten den gleichen Ausdruck [mm] $\integral_{-1}^{1} {\wurzel{1-x^{2}} dx}$ [/mm] stehen.
Dieser wird duch eine "stinknormale" Äquivalenzumformung auf die linke Seite gebracht, worauf links dann $2 \ * \ [mm] \integral_{}^{} [/mm] {...}$ steht.
Deshalb auf beiden Seiten nochmal durch $2$ geteilt, ... Voilà!
[mm]\integral_{-1}^{1} {\wurzel{1-x^{2}} \ dx} \ = \ \bruch{1}{2} * \left[ x*\wurzel{1-x^{2}} + \arcsin(x) \right]_{-1}^{+1}[/mm]
Alle Klarheiten beseitigt ??
Gruß
Loddar
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hallo,
leider komme ich nicht soweit wie thomask.
das prinzip der partiellen integration ist mir klar. könnte mir bitte jemand bei der lösung des problems helfen? wäre super nett!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreibe $A= [mm] \integral_{-1}^{1} \wurzel{1-x^{2}}\ [/mm] $
dann steht da im ersten post:
[mm] $A=x*\wurzel{1-x^2}+\arcsin [/mm] x -A$
auf beiden Seiten A addiert:
[mm] $2*A=x*\wurzel{1-x^2}+\arcsin [/mm] x$
also [mm] :$A=1/2*(x*\wurzel{1-x^2}+\arcsin [/mm] x)$
der Trick wird öfter verwendet ,wenn man nach ein oder 2 mal part. Integration wieder auf dasselbe Integral oder const*das Integral stösst.
Gruss leduart
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hallo,
das mit dem
2 Integral [mm] (\wurzel{1-x^2})=[x*\wurzel{1-x^2}+\arcsin(x)]
[/mm]
ist mir klar, und habe ich bei anderen aufgaben oft verwendet.
nur komme ich leider nich auf das
[mm] [x*\wurzel{1-x^2}+\arcsin(x)] [/mm] !
ich habe da immer irgend wie zuviele x...
ich weis aber leider (noch) nich warum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte stell deine Fragen nächstes mal präziser.
verwandle den Integranden zuerst in [mm] \bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
Ich glaub die folgene partielle Integration von [mm] \bruch{-x^2}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] kommt dann auf das gesuchte Ergebnis.
Gruss leduart
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hallo,
genau da ligt das problem bei mir! wen ich das neu erlangte integral noch mal partiell interiere komme ich leider nicht auf die lösung:-( habe den ganzen abend daran herumgemacht, und brauche dringend die lösung.
bisheriges vorgehen:
erweitern mit 1
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{(1-x^2)} dx}
[/mm]
u = 1
U = x
V [mm] =\wurzel{(1-x^2)}
[/mm]
v [mm] =\bruch{-x}{\wurzel{(1-x^2)}}
[/mm]
partiell integrieren:
[mm] \integral_{a}^{b}{u* V dx} [/mm] = [U * V] - [mm] \integral_{a}^{b}{u* V dx}
[/mm]
[mm] [x*\wurzel{(1-x^2)}] [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{x * \bruch{-x}{\wurzel{(1-x^2)}}dx}
[/mm]
so damit habe ich nun mein neues integral:
[mm] \integral_{a}^{b}{x * \bruch{-x}{\wurzel{(1-x^2)}} dx}
[/mm]
2. mal partiell integrieren:
u = [mm] \bruch{1}{\wurzel{(1-x^2)}}
[/mm]
U = arcsin(x)
V = [mm] -x^2
[/mm]
v = -2x
[mm] \integral_{a}^{b}{u* V dx} [/mm] = [U * V] - [mm] \integral_{a}^{b}{u* V dx}
[/mm]
[x * [mm] \wurzel{(1-x^2)} [/mm] ] + [arcsin(x) * [mm] x^2] [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{arcsin(x)* (-2x) dx}
[/mm]
das bringt mir ein neues integral, was mich auch nich zur lösung führt:-(
oder wie? ich stehe bei der aufgabe echt auf dem schlauch!
bitte leute, helft mir mit einem ausführlichen lösungsweg! brauche diesen echt dringend! Danke!
p.s. sorry wenn ich mich m anfang ein wenig unverständlich ausgedrückt habe!
gruß, basti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 03.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo basti!
Formen wir das neue Integral (nach der 1. partiellen Integration) mal um:
[mm] $x*\bruch{-x}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x^2}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{1}-x^2 \ \red{-1}}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^2}}-\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1-x^2}-\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 So 03.06.2007 | | Autor: | basti2212 |
hallo Loddar!
vieelen dank für die schelle hilfe!
jetzt hab ichs durchschaut! super sache. da wär ich aber irgend wie nich drauf gekommen, und in meinen unterlagen war leider auch nichts zu finden.
danke noch mal! super das forum!
gruß basti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mi 02.02.2005 | | Autor: | ThomasK |
Jo
Danke Loddar, das es so einfach ist hät ich nicht gedacht.
L.G
Thomas
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