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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Do 25.01.2007 | | Autor: | DeSara |
| Aufgabe | | Berechnen Sie ohne Berechnung der Fähigkeit des GTR zur Integration und ohne Benutzung von Integraltafeln ausführlich schriftlich das folgende Integral! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich weiß nicht, wie man dieses unbestimmte Integral berechnet.
Irgendwie muss das mit parteller Integration gehen..
Kann mir jemand genau, schritt für schritt zeigen, wies geht?
[mm] \integral_{a}^{b}{x*(\bruch{cosx}{sin^3x}) dx} [/mm]
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Guten Tach.
Um dieses Integral zu bestimmen benötigen wir Substitution und partielle Integration.
Also die Formel für part Integration ist [mm] $\displaystyle \int [/mm] u'v dx [mm] =u\cdot v-\int [/mm] uv'dx$
Also wählen wir jetzt f'(x) und g(x).
Als g(x) nimmt man ja immer das was beim Ableiten einfacher wird
also ist g(x)=x und f'(x)= [mm] \bruch{\cos(x)}{\sin^3(x)}.
[/mm]
Um den ersten Teil des Integrals zu bestimmen benötigen wir f(x).
f'(x) kennen wir bereits f'(x)= [mm] \bruch{\cos(x)}{\sin^3(x)}. [/mm] Um f(x) zu bestimmen benötigen wir Substitution wobei es sich hier um einen Sonderfall der regel handelt nämlich den Fall [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)}. [/mm] Das heißt der obere Term ist die Ableitung des unteren Terms. Deshalb kann man dann nur die Stammfunktion des unteren Terms bestimmen Deshalb lässt sich f(x) relativ leicht bestimmen [mm] \bruch {1}{\sin^3(x)}= \sin(x) [/mm] ^(-3). Aufgeleitet ergibt sich dann für f(x) folgendes: [mm] -\bruch{1}{2*\sin^2(x)}. [/mm] Kontrollier das mal. Also haben wir schon mal den ersten teil des Integrals
- [mm] \bruch{x}{2*\sin^2(x)}.
[/mm]
Nun bestimmen wir noch den Hinteren Teil Dazu muss man wissen das - [mm] \bruch{1}{\sin^2(x)} [/mm] die Ableitung vom cot(x) ist. Deshalb ergibt sich für das integral [mm] \integral_{a}^{b}{ - \bruch{1}{2*\sin^2(x)} dx} [/mm] ist dann [mm] \bruch{1}{2}*\cot(x). [/mm] Daraus ergibt sich dann folgendes Endergebnis.
- [mm] \bruch{x}{2*\sin^2(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} *\cot(x) [/mm] +c. Schuldigung dass das so lange gedauert hat, mein WLAN kackt ständig ab. Hoffe ich konnte trotzdem helfen.
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