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| Aufgabe | [mm] f:\IR^{2} \to \IR f(x,y)=2x^{2}-3xy^{2}+y^{4}
[/mm]
Beh: f besitzt auf allen Geraden t [mm] \to [/mm] t(a,b), (a,b) [mm] \in \IR^{2}, [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] in (0,0) ein Minimum. Aber (0,0) ist kein lokales Minimum von f. |
Guten Abend.
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe. Nun da ich denke es ist leichter habe ich mit dem Beweis für dafür begonnen, dass f kein lokales Minimum hat in (0,0). Ich habe also partiell abgeleitet, die Hessesche Matri gebildet, komme nun aber zum Resultat: pos. semidefinit worüber ich ja keine Aussage machen kann, bezüglich Min/Max..
Meine Hessesche Matrix sieht so aus:
[mm] (Hessf)(0,0)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Habe ich einen Fehler gemacht, oder gibt es eine andere Art diese Beh. zu zeigen?
Dann beim 2.Teil weiss ich überhaupt nicht wie beginnen.. Ich brauche Geraden welche alle ihr Minimum in 0 haben.. Das heisst die Funktionswerte dürfen nur positiv sein. Nur wie kann man so was zeigen?
Wäre sehr dankbar um ein paar Tipps.. Vielen lieben Dank!
Grüsse Grenzwert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Regina256 |
eine Frage, wie genau ist die Definition dieser Geraden zu verstehen? sinnvoll wäre es ja die Funktion auf Ursprungsgeraden zu betrachten. Das könntest du erreichen, indem du Y=mx substituierst. Die so entstehenden Parabeln 4. Grades haben dann im Ursprung ein relatives Minimum! Und mit der Hessematrix hast du nix falsch gemacht, nur bringt sie dich nicht weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du brauchst doch keine Geraden, die ein Minimum haben, sondern die Ableitung von f in Richtung der Geraden ist 0
die Geraden sind x(t)=a*t, y(t)=b*t
einstzen und nach t differenzieren , dann bei t=0 betrachten! dann ist die Abl. 0 auf den Geraden. lauf auf ner anderen Kurve nach 0 und die Ableitung ist nicht 0,
Gruss leduart
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Vielen herzlichen Dank für die schnelle antwort!!
Ich habe dank deiner Hilfe nun sogar die Aufgabe einigermassen verstanden! DANKE ;)
Ich habe jetzt die Ableitung gebildet und sehe auch sofort, dass sie null ist für t=0 Reicht dies um die Beh zu zeigen (Minimum), denn durch die beiden Parameter a,b fällt es mir schwer die Werte in einer Umgebung von (0,0) abzuschätzen.. Oder kann ich einfach die Ausgangsgleichung ansehen und dann 4 Fälle unterscheiden (a<0,b<0,a>0,b>0)?
Vielen lieben Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Do 14.06.2007 | | Autor: | Grenzwert |
Hat sich nun soweit gelöst, als dass ich ziegen konnte, dass die Geraden in (0,0) ein Minimum haben..
Leider habe ich noch keine Ahnung mit welcher Kurve man zeigen kann, dass (0,0) kein lokales Minimum ist.. Ich kann mir die ganze Funktion schlecht vorstellen.. Git es da einen Weg sich das bildlich zu verdeutlichen um eine Ahnung zu bekommen wie man x und y definieren muss?
Vielen Dank für eure Hilfe!!
Grenzwert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Do 14.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal ne Gerade hat kein Min und kein max, das kannst du ihr doch hoffentlich auch ohne Gleichug ansehen! Die Ableitung der fkt f(x,y) hat in RICHTUNG der Geraden die Ableitung 0!
geh mal auf der Kurve [mm] \wurzel{t},t [/mm] nach 0
Gruss leduart
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