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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
1. Von f(x,y) = [mm] e^{-4x²-(y-1)²} [/mm] ist [mm] f_{yy} [/mm] zu berechnen.
[mm] f_{yy} [/mm] = [mm] -2e^{4x²-(y-1)²} [/mm] + (-2(y-1)) [mm] (-2(y-1)e^{4x²-(y-1)²})
[/mm]
= [mm] -2e^{4x²-(y-1)²} [/mm] -2(y-1) [mm] (-2(y-1)e^{4x²-(y-1)²})
[/mm]
Wie kann man das noch vereinfachen?
2. f(x,y) = [mm] \wurzel{2x + 3xy + 4y}
[/mm]
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] berechnen
Lösung ist: [mm] \bruch{2 + 3y}{2\wurzel{2x + 3xy + 4y}}
[/mm]
Ich komme aber auf: (2x + 3xy + [mm] 4y)^{1/2}*(2 [/mm] + 3y)
= [mm] \wurzel{2x + 3xy + 4y}*(2 [/mm] + 3y)
Was mache ich falsch?
3. f(x,y) = cos [mm] (e^{xy} [/mm] + xy)
Wann ist [mm] f_{x} [/mm] = [mm] f_{y}?
[/mm]
[mm] f_{x} [/mm] = -sin [mm] (e^{xy} [/mm] + [mm] xy)*(ye^{xy} [/mm] + y)
= -y sin [mm] (e^{xy} [/mm] + xy) [mm] (e^{xy} [/mm] + 1)
[mm] f_{y} [/mm] = -sin [mm] (e^{xy} [/mm] + xy) [mm] (xe^{xy} [/mm] + x)
= -x sin [mm] (e^{xy} [/mm] + xy) [mm] (e^{xy} [/mm] + 1)
[mm] f_{x} [/mm] = [mm] f_{y} [/mm] falls x = y???
4. f(x,y) = sin (x² + y²) [mm] +e^{x}
[/mm]
Bestätigen Sie [mm] f_{xy} [/mm] = [mm] f_{yx}!
[/mm]
[mm] f_x [/mm] = (cos (x² + y²)*2x) + [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] f_y [/mm] = (cos (x² + y²)*2y) + [mm] e^{x}
[/mm]
Wie berechne ich hier [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx}?
[/mm]
Vielen Dank!
LG Sue
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sue!
> 2. f(x,y) = [mm]\wurzel{2x + 3xy + 4y}[/mm]
> [mm]f_{x}(x,y)[/mm] berechnen
> Lösung ist: [mm]\bruch{2 + 3y}{2\wurzel{2x + 3xy + 4y}}[/mm]
>
> Ich komme aber auf: [mm9(2x + 3xy + [mm] 4y)^{1/2}*(2 [/mm] + 3y)[/mm]
> = [mm]\wurzel{2x + 3xy + 4y}*(2 + 3y)[/mm]
>
> Was mache ich falsch?
Du machst einen kleinen Vorzeichenfehler:
[mm] $\left( \ \wurzel{z} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \left( \ z^{+\bruch{1}{2}} \ \right)' [/mm] \ = \ \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] z^{\red{-}\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2 \ \wurzel{z}}$
[/mm]
Alles klar?
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Aufgabe 1
> Von [mm]f(x,y) = e^{-4x²-(y-1)²}[/mm] ist [mm]f_{yy}[/mm] zu berechnen.
> [mm]f_{yy} = -2e^{4x²-(y-1)²} -2(y-1) * (-2(y-1)e^{4x²-(y-1)²})[/mm]
Zunächst hast du einen kleinen Tippfehler drin:
[mm] $f_{yy} [/mm] \ = \ [mm] -2e^{\red{-}4x^2-(y-1)^2} [/mm] \ - 2*(y-1) * [mm] \left[-2*(y-1)*e^{\red{-}4x^2-(y-1)^2} \right]$
[/mm]
Als Vereinfachung könntest Du noch $2 * [mm] \left[ e^{-4x^2-(y-1)^2} \right]$ [/mm] ausklammern:
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $f_{yy}(x,y) [/mm] \ = \ 2 * [mm] \left[ 2*(y-1)^2 - 1 \right] [/mm] * [mm] e^{-4x^2-(y-1)^2}$
[/mm]
Loddar
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Der Term [mm] $e^x$ [/mm] entfällt, da er ja für die partielle Ableitung nach $y$ als konstant angesehen wird.
