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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Lorence |
| Aufgabe | Ist folgende Funktion [mm] f:\mathcal{{R^2}\{rightarrow}{R}} [/mm] bei Null stetig, partiell differenzierbar oder total differenzierbar?
[mm] f(x,y)=x^2sin(\bruch{1}{x})+y^2sin(\bruch{1}{y}) [/mm] für [mm] x\not=0,y\not=0,
[/mm]
[mm] f(0,y)=y^2sin(\bruch{1}{y}) [/mm] für [mm] y\not=0,
[/mm]
[mm] f(x,0)=x^2sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für [mm] x\not=0
[/mm]
f(0,0)=0
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So, die stetigkeit bei 0 habe ich gezeigt, mit Hilfe der Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\f(x,y)=y^2sin(\bruch{1}{y}) [/mm]
[mm] \limes_{y\rightarrow\0}\f(x,y)=x^2sin(\bruch{1}{x}) [/mm]
und im 3ten schritt habe ich f(x,y) mit Hilfe von Polarkoordinaten substituiert und habe als Grenzwert "0" raus:
[mm] \limes_{r\rightarrow\0}f(r*cos,r*sin)=0
[/mm]
Also soweit stetig?
Jetzt habe ich aber ein Problem bei dem zweiten Teil der Aufgabe, der partiellen diffbarkeit in 0!
Ich habe mit Hilfe des Differentenquotienten folgendes gemacht:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\limes_{x\rightarrow\0}{f(x,0)}=\bruch{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x^2*sin(\bruch{1}{x})-0}{x}=\limes_{x\rightarrow\0} xsin(\bruch{1}{x})=0
[/mm]
Also existiert doch die Partielle Ableitung nach x im Punkt 0?
Wenn ich jetzt aber die Partielle Ableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] bilde kommt folgendes heraus:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= 2xsin\bruch{1}{x}-cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
bilde ich jetzt aber hier den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}2xsin\bruch{1}{x}-cos(\bruch{1}{x})=-cos(\infty)
[/mm]
Ist meine Überlegung falsch? existiert die partielle Ableitung in 0?
Danke für die Hilfe im Vorraus!
PS: Die limetes gehen alle gegen 0!
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> Ist folgende Funktion [mm]f:\mathcal{{R^2}\{rightarrow}{R}}[/mm] bei
> Null stetig, partiell differenzierbar oder total
> differenzierbar?
>
> [mm]f(x,y)=x^2sin(\bruch{1}{x})+y^2sin(\bruch{1}{y})[/mm] für
> [mm]x\not=0,y\not=0,[/mm]
> [mm]f(0,y)=y^2sin(\bruch{1}{y})[/mm] für [mm]y\not=0,[/mm]
> [mm]f(x,0)=x^2sin(\bruch{1}{x})[/mm] für [mm]x\not=0[/mm]
> f(0,0)=0
>
>
> So, die stetigkeit bei 0 habe ich gezeigt, mit Hilfe der
> Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\f(x,y)=y^2sin(\bruch{1}{y})[/mm]
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow\0}\f(x,y)=x^2sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> und im 3ten schritt habe ich f(x,y) mit Hilfe von
> Polarkoordinaten substituiert und habe als Grenzwert "0"
> raus:
>
> [mm]\limes_{r\rightarrow\0}f(r*cos,r*sin)=0[/mm]
>
> Also soweit stetig?
Hallo,
ja, die Vorgehensweise ist richtig.
>
>
> Jetzt habe ich aber ein Problem bei dem zweiten Teil der
> Aufgabe, der partiellen diffbarkeit in 0!
>
> Ich habe mit Hilfe des Differentenquotienten folgendes
> gemacht:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\limes_{x\rightarrow\0}{f(x,0)}=\bruch{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x^2*sin(\bruch{1}{x})-0}{x}=\limes_{x\rightarrow\0} xsin(\bruch{1}{x})=0[/mm]
>
> Also existiert doch die Partielle Ableitung nach x im Punkt
> 0?
Ja. Du hast sie ja ausgerechnet, und nichts von dem, was Du weiter rechnest, kann Dir die Existenz verderben.
Es kann natürlich sein, daß die partiellen Ableitungen nicht stetig sind...
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:42 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, dann komme ich zur nächsten Frage: der Totalen Diffbarkeit an der Stelle 0:
Ich mache folgendes:
1. Ich bilde die Linearform
[mm] f(x,y)=f(0,0)+\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)*(x-0)+\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)+R(x)
[/mm]
f(x,y)=0+0x+0y+R(x)
2. Ich schaue ob der Rest verschwindet
[mm] R(x,y)=\bruch{f(x,y)}{|x,y|}
[/mm]
[mm] =\limes_{x,y\rightarrow\t}R(t)=t*sin(\bruch{1}{t})*\wurzel{2}=0
[/mm]
Also ist die Funktion in 0 sogar total diffbar, obwohl sie nicht stetig diffbar ist?
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 [/mm] habe ich ja vorher schon gezeigt, allerdings beisst es sich mit der tatsächlichen partitiellen Ableitung, siehe kommentar davor!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 23.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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