part. Integration im R^n < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgendes Integral:
[mm] $$\int_{\Omega} \Delta [/mm] f [mm] \Delta \varphi [/mm] dx$$
Kann ich das irgendwie umschreiben, sodass ich [mm] \varphi [/mm] alleine stehen habe und zusätzlich ein Randintegral?
Danke
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Fr 16.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> ich habe folgendes Integral:
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> [mm]\int_{\Omega} \Delta f \Delta \varphi dx[/mm]
>
> Kann ich das irgendwie umschreiben, sodass ich [mm]\varphi[/mm]
> alleine stehen habe und zusätzlich ein Randintegral?
Schau dir die ![[]](/images/popup.gif) Greenschen Formeln an.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
die Greenschen Formel sind mir im Prinzip bekannt, jedoch sehe ich nicht, wie ich diese auf mein spezielles Problem anwenden kann.
Die beiden Laplace-Operatoren verwirren mich doch sehr. Ich kenne nur die Umformung mit 2 Gradienten.
Danke,
viele Grüße Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Hallo Rainer,
>
> die Greenschen Formel sind mir im Prinzip bekannt, jedoch
> sehe ich nicht, wie ich diese auf mein spezielles Problem
> anwenden kann.
> Die beiden Laplace-Operatoren verwirren mich doch sehr. Ich
> kenne nur die Umformung mit 2 Gradienten.
Dann setze [mm] $g:=\Delta [/mm] f$, und du kannst direkt die zweite Greensche Formel anwenden, bekommst dann natürlich Ableitungen vierter Ordnung von f.
Vielleicht solltest du dein Problem genauer erklären.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo
vielen Danke schonmal bisher,
die eigentliche Aufgabe ist die Euler-Lagrange-Gl. zu [mm] $\int_{\Omega} (\Delta u)^2 \; [/mm] dx$ zubestimmen. Die erste Variation liefert: [mm] $2\int_{\Omega} \Delta [/mm] u [mm] \Delta \varphi \;dx$
[/mm]
Wende ich jetzt die zweite Greensche Formel:
[mm] $$\int_{\Omega} \Delta [/mm] f [mm] g-f\Delta [/mm] g [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_{\partial \Omega} \frac{df}{dn} [/mm] g [mm] -f\frac{\partial g}{\partial n} \; [/mm] dA$$
an mit [mm] f=\varphi [/mm] und [mm] $g=\Delta [/mm] u$ komme ich auf:
[mm] $\int_{\Omega} \Delta \varphi \Delta [/mm] u dx = [mm] \int_{\partial \Omega} \frac{d\varphi}{dn} [/mm] g dA [mm] -\int_{\partial \Omega} \varphi \frac{\partial \Delta u}{\partial n} \; [/mm] dA + [mm] \int_{\Omega} \varphi \Delta\Delta [/mm] u dx= [mm] \int_{\partial \Omega} \frac{d\varphi}{dn} [/mm] g dA + [mm] \int_{\Omega} \varphi \Delta\Delta [/mm] u dx$
Da [mm] \varphi=0 [/mm] auf [mm] \partial\Omega
[/mm]
Aber was mache ich mit dem ersten Randintegral?
Lg Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Hallo
> vielen Danke schonmal bisher,
>
> die eigentliche Aufgabe ist die Euler-Lagrange-Gl. zu
> [mm]\int_{\Omega} (\Delta u)^2 \; dx[/mm] zubestimmen. Die erste
> Variation liefert: [mm]2\int_{\Omega} \Delta u \Delta \varphi \;dx[/mm]
>
> Wende ich jetzt die zweite Greensche Formel:
> [mm]\int_{\Omega} \Delta f g-f\Delta g \; dx = \int_{\partial \Omega} \frac{df}{dn} g -f\frac{\partial g}{\partial n} \; dA[/mm]
>
> an mit [mm]f=\varphi[/mm] und [mm]g=\Delta u[/mm] komme ich auf:
>
> [mm]\int_{\Omega} \Delta \varphi \Delta u dx = \int_{\partial \Omega} \frac{d\varphi}{dn} g dA -\int_{\partial \Omega} \varphi \frac{\partial \Delta u}{\partial n} \; dA + \int_{\Omega} \varphi \Delta\Delta u dx= \int_{\partial \Omega} \frac{d\varphi}{dn} g dA + \int_{\Omega} \varphi \Delta\Delta u dx[/mm]
>
> Da [mm]\varphi=0[/mm] auf [mm]\partial\Omega[/mm]
> Aber was mache ich mit dem ersten Randintegral?
Hmm, gute Frage. Vielleicht hilft folgende Überlegung. Wenn [mm] $\varphi=0$ [/mm] nicht nur auf [mm] $\partial\Omega$, [/mm] sondern auch in einer Umgebung $U(x)$ für [mm] $x\in\partial\Omega$, [/mm] dann sind automatisch alle Ableitungen von [mm] $\varphi$ [/mm] an der Stelle x auch gleich Null.
Salopp gesagt: für Testfunktionen, deren (kompakter) Träger vollständig im Inneren von [mm] $\Omega$ [/mm] liegt, sodass sie in genügend kleiner Entfernung vom Rand [mm] $\partial \Omega$ [/mm] schon verschwinden, für die verschwindet auch die Ableitung am Rand.
Ich bin mir nicht sicher, ob dieses Argument ausreicht. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 So 18.10.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Ok,
danke, dass klingt auf jeden Fall ganz plausibel!
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