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| Aufgabe | Für ein fixes [mm] $\theta>0$ [/mm] seien die schadenhöhen der i-ten polizze [mm] $X_1,\ldots,X_{n_i}$ [/mm] iid pareto verteilt mit den parametern [mm] $(\lambda,\theta)$.
[/mm]
weiters sei [mm] $\tetha$ [/mm] aus einer [mm] $\Gamma(\gamma,\beta)$ [/mm] verteilung .
wie sieht die dichte von [mm] $\theta \| (X_1,\ldots,X_{n_i})$ [/mm] aus? |
hallo,
ich steh bei einem beispiel ein bisschen an ...
wie die dichten und verteilungen von gamma und pareto an sich aussehen weiss ich, aber [mm] $\theta$ [/mm] unter gegebenen [mm] $(X_1,\ldots,X_{n_i})$ [/mm] ... weiss ich nicht wie ich das zusammenfügen kann.
vielleicht kann mir ja iwer bisschen helfen,
vielen dank, lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> wie die dichten und verteilungen von gamma und pareto an
> sich aussehen weiss ich,
Wir aber nicht. Was soll [mm] $\theta$ [/mm] sein? Shape? Location?
Was Du suchst ist auf jeden Fall der Satz von Bayes, bzw. Bayesian Statistics.
Du hast einen Gamma-prior für Deinen Parameter [mm] $\theta$ [/mm] und eine Pareto Likelihood des Modells und willst die posterior distribution von [mm] $\theta$.
[/mm]
Der Satz von Bayes sagt für die:
[mm] $\pi(\theta\ [/mm] |\ [mm] X)=\frac{\pi(\theta)f(X\ |\ \theta)}{\int\pi(\vartheta)f(X\ |\ \vartheta)\ d\vartheta}$
[/mm]
je nachdem, was nun [mm] $\theta$ [/mm] sein sollte, könnte die posterior sogar wieder [mm] $\Gamma$ [/mm] verteilt sein.
ciao
Stefan
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vielen dank erstmal ... bist der einzige der antwortet.
also [mm] $\theta$ [/mm] ist einfach der parameter der paretoverteilung und zwar gilt:
[mm] $1-F(X|\theta)=P(X>x|\theta)=(\frac {\lambda}{x})^{\theta}$
[/mm]
und die dichte von [mm] $\Gamma(\gamma,\beta)$ [/mm] ist
[mm] $f_{\gamma,\beta}(x)=\frac{\beta^{\gamma}}{\Gamma(y)}x^{\gamma-1}e^{-\beta x}$
[/mm]
ich muss nun zeigen dass [mm] $\theta| (X_1,...,X_{n_i})$ [/mm] folgende form hat ...
[mm] $f_{\gamma + n,\beta + \sum_{i=1}^n log(X_i / \ lambda)}(x)$
[/mm]
aber wie???
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> vielen dank erstmal ... bist der einzige der antwortet.
welch überschwänglicher Dank.
> also [mm]\theta[/mm] ist einfach der parameter der paretoverteilung
> und zwar gilt:
> [mm]1-F(X|\theta)=P(X>x|\theta)=(\frac {\lambda}{x})^{\theta}[/mm]
Wenn [mm] $\theta$ [/mm] "der" Parameter ist, was ist dann [mm] $\lambda$? $\theta$ [/mm] nennt sich shape, [mm] $\lambda$ [/mm] location (oder scale). Deine Definition braucht auch noch, daß [mm] $x>\lambda$, [/mm] weil [mm] $\lambda$ [/mm] der Minimalwert ist.
> ich muss nun zeigen dass [mm]\theta| (X_1,...,X_{n_i})[/mm] folgende
> form hat ...
> [mm]f_{\gamma + n,\beta + \sum_{i=1}^n log(X_i / \ lambda)}(x)[/mm]
>
> aber wie???
Welchen Teil meiner Antwort verstehst Du nicht? Wenn Du irgendwo ein Problem hast, können wir gerne darüber reden, aber sonst kann ich nur auf das verweisen, was ich schon gesagt habe:
Was Du suchst ist auf jeden Fall der Satz von Bayes, bzw. Bayesian Statistics.
Du hast einen Gamma-prior für Deinen Parameter [mm] $\theta$ [/mm] und eine Pareto Likelihood des Modells und willst die posterior distribution von [mm] $\theta$.
[/mm]
Der Satz von Bayes sagt für die:
[mm] $\pi(\theta\ [/mm] |\ [mm] X)=\frac{\pi(\theta)f(X\ |\ \theta)}{\int\pi(\vartheta)f(X\ |\ \vartheta)\ d\vartheta}$
[/mm]
Nachdem [mm] $\theta$ [/mm] der shape-Parameter ist, ist die posterior distribution wieder [mm] $\Gamma$-verteilt [/mm] - wie Dir auch vorgegeben.
Außer Du beschäftigst Dich gerade in irgendeiner Form mit Bayesian Statistics sehe ich beim besten Willen nicht, wie Du an so eine Aufgabe geraten sein könntest. Also solltest Du doch zumindest mit "Satz von Bayes", "prior" und "posterior distribution" was anfangen können. [mm] $\pi$ [/mm] nimmt man gerne für die Dichte des Parameters, also ist [mm] $\pi(\theta)$ [/mm] der gamma-verteilte prior und [mm] $\pi(\theta\ [/mm] |\ X)$ die gesuchte posterior distribution.
ciao
Stefan
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> Hi,
>
> > vielen dank erstmal ... bist der einzige der antwortet.
>
> welch überschwänglicher Dank.
>
> > also [mm]\theta[/mm] ist einfach der parameter der paretoverteilung
> > und zwar gilt:
> > [mm]1-F(X|\theta)=P(X>x|\theta)=(\frac {\lambda}{x})^{\theta}[/mm]
>
> Wenn [mm]\theta[/mm] "der" Parameter ist, was ist dann [mm]\lambda[/mm]?
> [mm]\theta[/mm] nennt sich shape, [mm]\lambda[/mm] location (oder scale).
> Deine Definition braucht auch noch, daß [mm]x>\lambda[/mm], weil
> [mm]\lambda[/mm] der Minimalwert ist.
>
>
> > ich muss nun zeigen dass [mm]\theta| (X_1,...,X_{n_i})[/mm] folgende
> > form hat ...
> > [mm]f_{\gamma + n,\beta + \sum_{i=1}^n log(X_i / \ lambda)}(x)[/mm]
>
> >
> > aber wie???
>
> Welchen Teil meiner Antwort verstehst Du nicht? Wenn Du
> irgendwo ein Problem hast, können wir gerne darüber
> reden, aber sonst kann ich nur auf das verweisen, was ich
> schon gesagt habe:
>
> Was Du suchst ist auf jeden Fall der Satz von Bayes, bzw.
> Bayesian Statistics.
>
> Du hast einen Gamma-prior für Deinen Parameter [mm]\theta[/mm] und
> eine Pareto Likelihood des Modells und willst die posterior
> distribution von [mm]\theta[/mm].
>
> Der Satz von Bayes sagt für die:
> [mm]\pi(\theta\ |\ X)=\frac{\pi(\theta)f(X\ |\ \theta)}{\int\pi(\vartheta)f(X\ |\ \vartheta)\ d\vartheta}[/mm]
>
> Nachdem [mm]\theta[/mm] der shape-Parameter ist, ist die posterior
> distribution wieder [mm]\Gamma[/mm]-verteilt - wie Dir auch
> vorgegeben.
>
>
> Außer Du beschäftigst Dich gerade in irgendeiner Form mit
> Bayesian Statistics sehe ich beim besten Willen nicht, wie
> Du an so eine Aufgabe geraten sein könntest. Also solltest
> Du doch zumindest mit "Satz von Bayes", "prior" und
> "posterior distribution" was anfangen können. [mm]\pi[/mm] nimmt
> man gerne für die Dichte des Parameters, also ist
> [mm]\pi(\theta)[/mm] der gamma-verteilte prior und [mm]\pi(\theta\ |\ X)[/mm]
> die gesuchte posterior distribution.
>
> ciao
> Stefan
Stefan ... nochmals überschwänglichen dank ;)
also das machen wir gerade in versicherungsmathe ... aber die vo hilft mir da nicht weiter, aber ich werd mir jez dank dir die paar schlagwörter bisschen genauer anschaun.
wünsche dir noch nen schönen tag,
und danke nochmal.
lg
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leider geht mein problem weiter ...
nun ich habe bei meinem beispiel die gemeinsame dichte von X und [mm] $\theta$ [/mm] berechnet, daraus mir die marginale dichte bestimmt. und der quotient dieser beiden ist meine gesuchte dichte.
nun habe ich aber das problem dass ich für mein [mm] $f_{\theta|X}=\frac{\theta (ln(\frac {\lambda}{x}))^2}{\theta ln(\frac {\lambda}{x})-1}$.
[/mm]
aber rauskommen sollte doch etwas gammaverteiltes wie
$ [mm] f_{\gamma + n,\beta + \sum_{i=1}^n log(X_i / \lambda)}(x) [/mm] $
und wo vor allem kommt bei diesem ausdruck die summe her??
danke für die hilfe,
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
der prior ist doch [mm] gamma$(\gamma,\beta)$-verteilt, [/mm] also:
[mm] $\pi(\theta)=\theta^{\gamma-1}\frac{e^{-\beta\theta}}{\Gamma(\gamma)\beta^\gamma}$
[/mm]
und [mm] $x_i\, |\, \theta$ [/mm] ist [mm] Pareto$(\lambda,\theta)$ [/mm] verteilt und die [mm] $x_i$ [/mm] sind unabhängig, also:
$f(x\ |\ [mm] \theta)=\prod_{i=1}^n \frac{\theta\lambda^\theta}{x_i^{\theta+1}}$
[/mm]
jetzt berechnest Du mal nur den Zähler
[mm] $\pi(\theta)f(x\ [/mm] |\ [mm] \theta)$
[/mm]
vom Satz von Bayes und bringst ihn auf die Form
[mm] $K\theta^{A-1}e^{-B\theta}$
[/mm]
wobei K, A und B Konstanten sind, in denen kein [mm] $\theta$ [/mm] vorkommt (wir wollen [mm] $\pi(\theta\ [/mm] |\ x)$; [mm] $\theta$ [/mm] ist die Variable, alles andere sind Konstanten). Solange A und B für Deine Gammaverteilung passen, ergibt sich die Konstante von allein.
ciao
Stefan
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Stefan, vielen Dank, hat mir sehr geholfen!!!!
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> Hi,
>
> der prior ist doch gamma[mm](\gamma,\beta)[/mm]-verteilt, also:
>
> [mm]\pi(\theta)=\theta^{\gamma-1}\frac{e^{-\beta\theta}}{\Gamma(\gamma)\beta^\gamma}[/mm]
>
> und [mm]x_i\, |\, \theta[/mm] ist Pareto[mm](\lambda,\theta)[/mm] verteilt
> und die [mm]x_i[/mm] sind unabhängig, also:
>
> [mm]f(x\ |\ \theta)=\prod_{i=1}^n \frac{\theta\lambda^\theta}{x_i^{\theta+1}}[/mm]
>
> jetzt berechnest Du mal nur den Zähler
>
> [mm]\pi(\theta)f(x\ |\ \theta)[/mm]
>
> vom Satz von Bayes und bringst ihn auf die Form
>
> [mm]K\theta^{A-1}e^{-B\theta}[/mm]
>
> wobei K, A und B Konstanten sind, in denen kein [mm]\theta[/mm]
> vorkommt (wir wollen [mm]\pi(\theta\ |\ x)[/mm]; [mm]\theta[/mm] ist die
> Variable, alles andere sind Konstanten). Solange A und B
> für Deine Gammaverteilung passen, ergibt sich die
> Konstante von allein.
>
> ciao
> Stefan
hallo,
aber was is nun mit dem nenner vom satz von bayes eigentlich?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 01.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hilfeeeeee!!
Für ein fixes [mm]\theta>0[/mm] seien die schadenhöhen der i-ten
polizze [mm]X_1,\ldots,X_{n_i}[/mm] iid pareto verteilt mit den
parametern [mm](\lambda,\theta)[/mm].
weiters sei [mm]\tetha[/mm] aus einer [mm]\Gamma(\gamma,\beta)[/mm]
verteilung .
dann schaut die gesuchte verteilung so aus ... $ [mm] f_{\gamma + n,\beta + \sum_{i=1}^n log(X_i / \ lambda)}(x) [/mm] $ ... doch dann gehts weiter ...
wenn man nu eine grenze [mm] K>$\lambda$ [/mm] einführt und sei [mm] $Y_j [/mm] = [mm] I_{k,\inf}(X_j)$. [/mm] man zeige dass der bayes schätzer [mm] $\rho(\theta)=E(Y_1| \theta)$ [/mm] basierend auf [mm] $X_1,..,X_{n_i}$ [/mm] wie folg gegeben ist ...
[mm] $\frac{(\beta+\sum_{j=1}^n log(X_j/\lambda))^{\gamma+n_i}}{(\beta+\sum_{j=1}^n log(X_j/\lambda)+log(K/\lambda))^{\gamma+n_i}}$
[/mm]
ich habe keine ahnung wie ich das angehen soll.
danke für jede hilfe,
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 01.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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