parametrisch h(t)+g(t) in f(x) < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute,
bezüglich meines Projekts stehe ich gerade vor einem mathematischen Problem. Ich möchte aus einer parametrischen Funktion eine konventionelle Funktion (z.B. f(x)) berechnen und komme nicht weiter.
Derzeit ist mein Funktionsargument t. Die Funktionswerte x und y sind also von t abhängig.
[mm]x = h(t) = -1844545.25139042\*t^3 + 1569669.67048434\*t^2 - 444730.066398578\*t + 41933.7365913667[/mm]
[mm]y = g(t) = 1149104.2836283\*t^3 - 1000842.79346282\*t^2 + 289054.865000436\*t - 27555.2827127253[/mm]
Um aus h(t) und g(t) ein einfaches f(x) zu machen, möchte ich wie folgt vorgehen. Zunächst soll das erste Polynom 3. Grades nach t aufgelöst bzw. umgestellt werden. Scheinbar geht das nur mithilfe der Berechnung der Nullstellen.
-> Der Plan = die NST mithilfe der Cardanischen Formeln bestimmen (das Ergebnis ist genauer als eine Näherung)
Voraussetzung: für jedes x gibt es nur einen einzigen Funktionswert y = f(x)
Das ist bei der oben beschriebenen parametrischen Funktion gegeben (habe ich mithilfe einer zeichnung Überprüft)
-> Folglich sollte es theoretisch auch möglich sein f(x) aus h(t) und g(t) zu berechnen.
Laut Wikipedia ist die Normalform
[mm]x^3 + ax^2 + bx + c = 0[/mm]
[mm]a = \bruch{-1569669.67048434}{1844545.25139042} = -0.850979215229944[/mm]
[mm]b = \bruch{444730.066398578}{1844545.25139042} = 0.241105533227412[/mm]
[mm]c = \bruch{-41933.7365913667}{1844545.25139042} = -0.022733915885098[/mm]
Cardanische Formeln:
[mm]p = b - \bruch{a^2}{3} = -0.000283008357045274[/mm]
[mm]q = \bruch{2*a^3}{27} - \bruch{a*b}{3} + c = 9.87622537942547E-6[/mm]
[mm]d = (\bruch{q}{2})^2 + (\bruch{p}{3})^3 = 2.35454311962467E-11[/mm]
d > 0 daraus folgt (eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen)
[mm]u = \wurzel[3]{\bruch{-q}{2} + \wurzel{d}}[/mm]
[mm]v = \wurzel[3]{\bruch{-q}{2} - \wurzel{d}}[/mm]
[mm]t1 = u + v[/mm]
[mm]t2 / t3 = \bruch{-u + v}{2}\pm\bruch{u - v}{2}i\wurzel{3}[/mm]
Jetzt sehe ich zwei Probleme.
1. Wie genau sehen die Ergebnisse für t aus (bin leider nicht mehr so Fit in der Materie der komplexen Zahlen)
2. Wie hilft mir das überhaupt weiter? Wenn ich das richtig sehe, habe ich jetzt nur drei Nullstellen ohne Funktionsargument. Somit ist der Funktionswert von keinem Funktionsargument abhängig wenn ich t1, t2 oder t3 in das zweite Polynom einsetze. Es fehlt mir also das x ...
Ich stoße auch immer wieder auf diese Formel f(t) = g(t)/h(t).
Was hat es damit auf sich und hilft es mir möglicherweise weiter?
Ich freue mich auf mutige und hilfsbereite Mathematiker =)
Viele Grüße,
Laus
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> Hi Leute,
>
> bezüglich meines Projekts stehe ich gerade vor einem
> mathematischen Problem. Ich möchte aus einer
> parametrischen Funktion eine konventionelle Funktion (z.B.
> f(x)) berechnen und komme nicht weiter.
> Derzeit ist mein Funktionsargument t. Die Funktionswerte x
> und y sind also von t abhängig.
>
> [mm]x = h(t) = -1844545.25139042\*t^3 + 1569669.67048434\*t^2 - 444730.066398578\*t + 41933.7365913667[/mm]
>
> [mm]y = g(t) = 1149104.2836283\*t^3 - 1000842.79346282\*t^2 + 289054.865000436\*t - 27555.2827127253[/mm]
>
> Um aus h(t) und g(t) ein einfaches f(x) zu machen, möchte
> ich wie folgt vorgehen. Zunächst soll das erste Polynom 3.
> Grades nach t aufgelöst bzw. umgestellt werden. Scheinbar
> geht das nur mithilfe der Berechnung der Nullstellen.
> -> Der Plan = die NST mithilfe der Cardanischen Formeln
> bestimmen (das Ergebnis ist genauer als eine Näherung)
>
> Voraussetzung: für jedes x gibt es nur einen einzigen
> Funktionswert y = f(x)
> Das ist bei der oben beschriebenen parametrischen Funktion
> gegeben (habe ich mithilfe einer zeichnung Überprüft)
> -> Folglich sollte es theoretisch auch möglich sein f(x)
> aus h(t) und g(t) zu berechnen.
>
> Laut Wikipedia ist die Normalform
> [mm]x^3 + ax^2 + bx + c = 0[/mm]
>
> [mm]a = \bruch{-1569669.67048434}{1844545.25139042} = -0.850979215229944[/mm]
>
> [mm]b = \bruch{444730.066398578}{1844545.25139042} = 0.241105533227412[/mm]
>
> [mm]c = \bruch{-41933.7365913667}{1844545.25139042} = -0.022733915885098[/mm]
>
> Cardanische Formeln:
> [mm]p = b - \bruch{a^2}{3} = -0.000283008357045274[/mm]
> [mm]q = \bruch{2*a^3}{27} - \bruch{a*b}{3} + c = 9.87622537942547E-6[/mm]
>
> [mm]d = (\bruch{q}{2})^2 + (\bruch{p}{3})^3 = 2.35454311962467E-11[/mm]
>
> d > 0 daraus folgt (eine reelle und zwei konjugiert
> komplexe Lösungen)
>
> [mm]u = \wurzel[3]{\bruch{-q}{2} + \wurzel{d}}[/mm]
> [mm]v = \wurzel[3]{\bruch{-q}{2} - \wurzel{d}}[/mm]
>
> [mm]t1 = u + v[/mm]
> [mm]t2 / t3 = \bruch{-u + v}{2}\pm\bruch{u - v}{2}i\wurzel{3}[/mm]
>
>
> Jetzt sehe ich zwei Probleme.
> 1. Wie genau sehen die Ergebnisse für t aus (bin leider
> nicht mehr so Fit in der Materie der komplexen Zahlen)
> 2. Wie hilft mir das überhaupt weiter? Wenn ich das
> richtig sehe, habe ich jetzt nur drei Nullstellen ohne
> Funktionsargument. Somit ist der Funktionswert von keinem
> Funktionsargument abhängig wenn ich t1, t2 oder t3 in das
> zweite Polynom einsetze. Es fehlt mir also das x ...
>
>
> Ich stoße auch immer wieder auf diese Formel f(t) =
> g(t)/h(t).
> Was hat es damit auf sich und hilft es mir möglicherweise
> weiter?
>
> Ich freue mich auf mutige und hilfsbereite Mathematiker =)
> Viele Grüße,
> Laus
Hallo Körperlaus,
(mit derartigen Geschöpfen führe ich zwar normaler-
weise keine Kontakte - ehrlich gesagt hatte ich zu
meiner Freude meines Wissens bisher noch gar keinen
solchen - aber man kann ja im Dienste der Erkenntnis
mal eine Ausnahme machen, insbesondere via Netz,
wo die unangenehmen Seiten eines solchen Kontakts
gar nicht zum Zuge kommen können ...)
Zu deiner Anfrage haber ich eine ganz einfache
Gegenfrage, nämlich:
Wozu brauchst du so etwas ?
Geht es um eine Anwendung, bei der dir die
parametrische Darstellung nicht genügt ?
Eigentlich ist ja die parametrische Darstellung, bei
der man zwei Funktionen $\ [mm] t\mapsto [/mm] x(t)$ und $\ [mm] t\mapsto [/mm] y(t)$ betrachtet,
reichhaltiger und flexibler als die explizite Darstellung
in der Form $\ [mm] x\mapsto [/mm] y(x)$
Gerade in deinem Beispiel müsste man ja (mit
großer Wahrscheinlichkeit) die gegebene Kurve
in verschiedene Teilstücke zerlegen, für welche
dann unterschiedliche Funktionen [mm] y_i(x) [/mm] benützt
werden müssten, mit möglicherweise komplizierten
Fallunterscheidungen und mit deutlich komplizierteren
Formeln als mit der Parameterdarstellungen.
Also: wozu der Aufwand ??
und noch so nebenbei: Ich frage mich, wozu du die
Genauigkeit (?) von 15 Dezimalstellen brauchst.
Es ist höchst selten, dass eine derartige Rechengenauig-
keit auch wirklich praktischen Sinn macht.
LG
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mi 13.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Körperlaus,
>
> (mit derartigen Geschöpfen führe ich zwar normaler-
> weise keine Kontakte - ehrlich gesagt hatte ich zu
> meiner Freude meines Wissens bisher noch gar keinen
> solchen - aber man kann ja im Dienste der Erkenntnis
> mal eine Ausnahme machen, insbesondere via Netz,
> wo die unangenehmen Seiten eines solchen Kontakts
> gar nicht zum Zuge kommen können ...)
>
> Zu deiner Anfrage haber ich eine ganz einfache
> Gegenfrage, nämlich:
>
> Wozu brauchst du so etwas ?
>
> Geht es um eine Anwendung, bei der dir die
> parametrische Darstellung nicht genügt ?
>
> Eigentlich ist ja die parametrische Darstellung, bei
> der man zwei Funktionen [mm]\ t\mapsto x(t)[/mm] und [mm]\ t\mapsto y(t)[/mm]
> betrachtet,
> reichhaltiger und flexibler als die explizite Darstellung
> in der Form [mm]\ x\mapsto y(x)[/mm]
>
> Gerade in deinem Beispiel müsste man ja (mit
> großer Wahrscheinlichkeit) die gegebene Kurve
> in verschiedene Teilstücke zerlegen, für welche
> dann unterschiedliche Funktionen [mm]y_i(x)[/mm] benützt
> werden müssten, mit möglicherweise komplizierten
> Fallunterscheidungen und mit deutlich komplizierteren
> Formeln als mit der Parameterdarstellungen.
Hallo Al,
mit dieser Einschätzung hast du recht, siehe Abbildung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> > Gerade in deinem Beispiel müsste man ja (mit
> > großer Wahrscheinlichkeit) die gegebene Kurve
> > in verschiedene Teilstücke zerlegen, für welche
> > dann unterschiedliche Funktionen [mm]y_i(x)[/mm] benützt
> > werden müssten, mit möglicherweise komplizierten
> > Fallunterscheidungen und mit deutlich komplizierteren
> > Formeln als mit der Parameterdarstellungen.
>
> Hallo Al,
> mit dieser Einschätzung hast du recht, siehe Abbildung:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Gruß Abakus
Ja, es könnte wohl (mit anderen Koeffizienten) noch
"schlimmer" aussehen.
LG , Al
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Hallo Leute,
ich bin sehr erfreut über die große Resonanz.
Zunächst einmal zum Sinn:
Du hast schon recht mit deiner Vermutung Al-Chwarizmi. Ich brauche es für eine Anwendung, bei der mir die parametrische Darstellung nicht weiterhilft? Ich muss meine parametrische Funktion transformieren um wesentlich weniger Koeffizienten zur Verfügung zu haben. Mit diesen kann ich dann weiter arbeiten.
Aus diesem Grund benötige ich eine explizite Darstellung.
Bezüglich der komplexität kann ich sagen, das ich nur ein bestimmtes Teilintervall dieser Funktion benötige. Nämlich [mm]0 \le t \le 1[/mm]. Daher sollte eine einzige Funktion für das entsprechende Teilstück ausreichen.
LG
Laus
p.s. die 15 Dezimalstellen hatte ich nur aus meinem Programm übernommen. Hätte ich natürlich ein wenig kürzen können 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Do 14.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Leute,
> ich bin sehr erfreut über die große Resonanz.
>
> Zunächst einmal zum Sinn:
> Du hast schon recht mit deiner Vermutung Al-Chwarizmi. Ich
> brauche es für eine Anwendung, bei der mir die
> parametrische Darstellung nicht weiterhilft? Ich muss meine
> parametrische Funktion transformieren um wesentlich weniger
> Koeffizienten zur Verfügung zu haben. Mit diesen kann ich
> dann weiter arbeiten.
> Aus diesem Grund benötige ich eine explizite
> Darstellung.
>
> Bezüglich der komplexität kann ich sagen, das ich nur ein
> bestimmtes Teilintervall dieser Funktion benötige.
> Nämlich [mm]0 \le t \le 1[/mm]. Daher sollte eine einzige Funktion
> für das entsprechende Teilstück ausreichen.
Hallo,
da täuschst du dich.
Meine ursprüngliche Abbildung hatte ich mit Geogebra für 0<t<100 erstellt. Die Reduzierung auf 0<t<1 bringt das gleiche Bild, insbesondere die sichtbare S-Kurve, wegen der die Kurve kein Graph einer Funktion ist.
Gruß Abakus
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Ja, du hast recht. Es war mein Fehler.
Wenn ich es sehr genau nehme dann betrachte ich nur dieses Intervall [mm]0.287053018756708 \le t \le 0.296876549537967[/mm] aus dem gesamten Bereich [mm]0 \le 0.287053018756708 \le t \le 0.296876549537967 \le 1[/mm]
Und dieses Teilstück ist garantiert durch eine einzige Funktion beschreibbar.
Meine gesamte parametrische Funktion verläuft also wie folgt (nur der Rot markierte Teil soll also in die Form f(x) transformiert werden):
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Klaus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Do 14.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Ja, du hast recht. Es war mein Fehler.
>
> Wenn ich es sehr genau nehme dann betrachte ich nur dieses
> Intervall [mm]0.287053018756708 \le t \le 0.296876549537967[/mm] aus
> dem gesamten Bereich [mm]0 \le 0.287053018756708 \le t \le 0.296876549537967 \le 1[/mm]
>
>
> Und dieses Teilstück ist garantiert durch eine einzige
> Funktion beschreibbar.
Hallo,
reicht es da nicht aus, einige (vielleicht 4 oder 5) Punkte aus diesem Intervall zu nehmen und aus diesen Punkten ein Näherungspolynom zu erstellen?
Gruß Abakus
PS: Du hast x und y in deiner Abbildung vertauscht.
>
> Meine gesamte parametrische Funktion verläuft also wie
> folgt (nur der Rot markierte Teil soll also in die Form
> f(x) transformiert werden):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> LG
> Klaus
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Näherungspolynome ... hatte ich auch schon dran gedacht, aber zuerst wieder verworfen.
Wenn ich jetzt bedenke was es für ein Aufwand ist, das ganze mithilfe der Cardanischen Formeln umzusetzen, wird es wohl wesentlich einfacher Näherungspolynome zu verwenden.
Manchmal hilft es weiter einfach über ein Thema zu reden bzw. zu schreiben =)
Ich danke für die Inspiration.
Schönes Wochenende und viele Grüße,
Laus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Ich stoße auch immer wieder auf diese Formel f(t) =
> g(t)/h(t).
> Was hat es damit auf sich und hilft es mir möglicherweise
> weiter?
>
Könnte es sich um einen Schreibfehler handeln und du meinst die Beziehung
f'(x) = [mm] \bruch{g'(t)}{h'(t)} [/mm] ?
Sie zeigt dir, wie du die Ableitung des von Abakus gezeichneten Graphen finden kannst, insbesondere, dass zur Bestimmung der Ableitung keine parameterfreie Darstellung erforderlich ist.
Gruß Sax.
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Hallo Sax,
ich habe diese Formel schon des Öfteren gesehen. Zum letzten mal im Paper von Cem Ünsalan und Aytül Ercil "Conversion between Parametric and Implicit Forms Using Polar/Spherical Coordinate Representations".
Da steht auf Seite 6
f1(t) = g(t) / h(t)
Gruß
Laus
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