parameterabhängige Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Di 06.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Eine Funktion $g$ sei für $ x [mm] \in \IR [/mm] $ durch
$g(x) := [mm] \int [/mm] ^{2+x4} _{-1 - [mm] x^2} e^{x^2 t^2}dt$
[/mm]
definiert. Bestimmen Sie (einen geschlossenen Ausdruck für )$ g'(x) $. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Theoretisch ist mir klar, wie ich zu einem Ausdruck komme.
Der Satz über parameterabhängige Integrale hilft:
Seien [mm] $\psi [/mm] (x)$ und [mm] $\phi [/mm] (x)$ differenzierbar, so ist
[mm] $g(x):=\int ^{\psi (x)} _{\phi (x)} [/mm] f(x,t)dt$ ebenfalls differenzierbar und es gilt:
$g'(x) = [mm] \int ^{\psi(x)} _{\phi (x)} [/mm] { [mm] \frac{\partial f} {\partial x} [/mm] (x,t) dt } + [mm] \psi [/mm] '(x) f [mm] \left ( x, \psi (x) \right [/mm] ) - [mm] \phi'(x) [/mm] f [mm] \left (x, \phi(x) \right [/mm] )$
Allerdings, wenn ich diesen Satz auf die vorliegende Funktion g anwende, komme ich durch den ersten Summanden zu Doppel- sogar Dreifachintegralen, einer Funktion, die meines Wissens keine bekannte Stamfunktion hat, nämlich [mm] $e^{x^2}$. [/mm] Hat jemand eine Idee wie man einfacher zum Ziel kommt ?
Danke,
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 06.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ole!
Verwende hier den Hauptsatz der Integration mit: [mm] $\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ F(b)-F(a)$ .
Das bedeutet bei Deiner Aufgabe mit [mm] $f_x(t) [/mm] \ = \ [mm] e^{x^2*t^2}$ [/mm] :
$$g(x) \ = \ [mm] \integral^{2+x^4}_{-1 - x^2}{e^{x^2* t^2} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \integral^{2+x^4}_{-1 - x^2} {f_x(t) \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F_x(t) \ \right]_{-1 - x^2}^{2+x^4} [/mm] \ = \ [mm] F_x(2+x^4)-F_x(-1-x^2)$$
[/mm]
Für die Ableitung $g'(x)_$ nun mittels  Kettenregel vorgehen ...
Gruß
Loddar
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