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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Geraden g1:x = [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 0,5 \\ -1 \\ 3,5 \end{pmatrix} [/mm] und g2:x = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + s* [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} [/mm] üarallel verlaufen und geben Sie deren Abstand an. |
Ich weiß bereits, dass zwei Geraden parallel sind, wenn sihre Richtungsvektoren vielfache voneinander sind und ihre Stützvektoren keine Punkte beschreiben, die auf beiden Geraden liegen. Wie setzte ich das nun um?
Ich denke mal, dass ich sie wieder gleichsetzten muss, also habe ich folgendes raus:
I 5=0,5r -1s
II -1=-1r + 2s
III -1 = 3,5r -7s
Daraus folgt:
I 0,5 -1 /5
II -1 2 /-1
III 3,5 -7 /-1
Ist das richtig und wie muss ich dann weiter vorgehen?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Geraden g1:x = [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> + r * [mm]\begin{pmatrix} 0,5 \\ -1 \\ 3,5 \end{pmatrix}[/mm]
> und g2:x = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + s*
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}[/mm] üarallel
> verlaufen und geben Sie deren Abstand an.
> Ich weiß bereits, dass zwei Geraden parallel sind, wenn
> sihre Richtungsvektoren vielfache voneinander sind und ihre
> Stützvektoren keine Punkte beschreiben, die auf beiden
> Geraden liegen. Wie setzte ich das nun um?
>
> Ich denke mal, dass ich sie wieder gleichsetzten muss, also
> habe ich folgendes raus:
>
> I 5=0,5r -1s
> II -1=-1r + 2s
> III -1 = 3,5r -7s
>
> Daraus folgt:
>
> I 0,5 -1 /5
> II -1 2 /-1
> III 3,5 -7 /-1
>
> Ist das richtig und wie muss ich dann weiter vorgehen?
Das ist zwar eine Möglichkeit, aber nicht notwendig. Der Faktor, der notwendig ist, damit der erste Richtungsvektor zum Zweiten wird, ist nicht schwer zu bestimmen, der ist -2.
Also schreibst du auf:
[mm] $(-2)*\vektor{0.5\\-1\\3.5} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\ 2\\-7}$
[/mm]
Damit hast du schon gezeigt, dass die Richtungsvektoren parallel zueinander verlaufen. Nun musst du noch die "Punktprobe" machen, d.h. du nimmst den Ortsvektor der einen Geraden und schaust, ob die andere Gerade ihn erzeugen kann. Dazu schreibst du jeweils rechts daneben, welchen Wert s annehmen müsste, damit die jeweilige Zeile der Vektorgleichung stimmt.
[mm] $\vektor{8\\0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{3\\1\\1}+s*\vektor{-1\\2\\-7}$
[/mm]
1. Zeile: s = -5
2. Zeile: s = 3.5
3. Zeile: s = -1
Also müsste s mit einem Mal drei verschiedene Werte annehmen, das ist nicht möglich, deswegen lässt sich der Ortsvektor der einen geraden nicht durch die andere erzeugen, also sind die Geraden nicht identisch.
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Zum Abstand:
Führe das Abstandsproblem auf das von Punkt-Gerade zurück. Nimm dir dazu den Ortsvektor der zweiten Gerade (ist ja egal welcher Punkt genommen wird, jeder hat denselben Abstand zur ersten Gerade).
Guck dazu zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
Heißt das, dass ich den Abstand aus der Zeichnung bestimmen muss, oder gibt es dazu auch eine bestimmte Formel?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Heißt das, dass ich den Abstand aus der Zeichnung bestimmen
> muss, oder gibt es dazu auch eine bestimmte Formel?
Hallo.
Berechne den Abstand des Stützpunktes von der einen Gerade zur anderen Gerade, mit den gelernten Mitteln.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 18.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
Ich weiß jetzt, dass ich für den Abstand von Punkt P(8/0/0) und von [mm] u=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} [/mm] ausgehen muss. Jetzt muss ich laut meinem Heft durch probieren auf die der zu h senkrechten Ebene kommen. Wie Probiere ich denn das? Den weiteren Verlauf weiß ich nämlich jetzt aber wie ich auf [mm] \vec [/mm] v und [mm] \vec [/mm] w komme.
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo jeffmaus,
> Ich weiß jetzt, dass ich für den Abstand von Punkt P(8/0/0)
> und von [mm]u=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}[/mm]
> ausgehen muss. Jetzt muss ich laut meinem Heft durch
> probieren auf die der zu h senkrechten Ebene kommen. Wie
> Probiere ich denn das? Den weiteren Verlauf weiß ich
> nämlich jetzt aber wie ich auf [mm]\vec[/mm] v und [mm]\vec[/mm] w komme.
Am einfachsten arbeitest Du mit der Loordinatengleichung. Du hast ja einen Normalenvektor von E. Du erhälst dann $ -x+2y-7z=-8 $
Du wolltest wohl versuchen, eine Parameterform von E zu finden. Auch wenn der Weg hier nicht empfehlenswert ist, hier ein Hinweis, wie Du sie bestimmen kannst. Du suchst zwei linear unabhängige Vektoren, die senkrecht zu [mm] \vec{u} [/mm] sind. Für den ersten Vektor setzt Du z.B. die erste Komponente gleich 0, die zweite gleich 7 und die dritte gleich 2, denn ($ 2 [mm] \cdot [/mm] 7 + (-7) [mm] \cdot [/mm] 2 = 0 $)
Für den zweiten Vektor setzt Du jetzt die zweite oder dritte Komponente gleich 0 (Das garantiert die lin. Unabhängigkeit). Findest Du jetzt die übrigen Komponenten?
Gruß
Sigrid
>
> vielen dank
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