parabel durch drei geg. punkte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Fr 26.08.2005 | | Autor: | pinz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gegeben sind drei punkte A(1;0), B(3;1), C(-1;-3).
gesucht sind zwei mögliche funktionen einer parabel, die durch diese punkte geht.
wie mach ich denn das schon wieder??
kann mir bitte schnell jemand helfen, bzw. sogar den lösungsweg schicken?
es grüsst und dankt
*pinto
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Hallo Pinto,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie sieht denn die allgemeine Form einer Parabel aus?
$f(x) \ = \ [mm] a*x^2 [/mm] + b*x + c$
Nun kannst Du durch Einsetzen Deiner gegebenen drei Punkte ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichungen erstellen.
Ich zeige Dir das mal für den Punkt $A \ [mm] \left( \ \red{1} \ \left| \ \blue{0} \ \right)$ :
Für diesen Punkt gilt ja: $x_A \ = \ \red{1}$ sowie $y_A \ = \ f\left(x_A\right) \ = \ \blue{0}$
Man erhält also:
$a*\red{1}^2 + b*\red{1} + c \ = \ a + b + c \ = \ \blue{0}$
Genauso mit den anderen beiden Punkten verfahren und dann das Gleichungssystem nach a, b und c auflösen.
Nun klar(er) ??
Wie lautet Dein Ergebnis für die Parabelfunktion?
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Fr 26.08.2005 | | Autor: | pinz |
danke vielmal soweit!
nun denn...
ich hab als lösung:
[mm] y=-\bruch{1}{4} x^{2}+ \bruch{3}{2}x- \bruch{5}{4}
[/mm]
stimmt das?
und wenn ja, es soll ja unendlich viele lösungen geben - wie finde ich denn noch eine zweite?
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Hallo Pinz,
Deine Lösung stimmt so nicht! Da du deinen Rechnweg nicht gesendet hast, kann ich dir auch nicht zeigen wo, der Fehler liegt.
Als erstes muss du ein Gleichungssystem aufstellen indem du die Punkte in die Funktionsgleichung einsetzt. Damit müsstest du dann erhallten:
[mm] $I:\,\,f(1)=0 \gdw [/mm] a+b+c=0$
[mm] $II:\,\,f(3)=1 \gdw [/mm] 9a+3b+c=1$
[mm] $III:\,\,f(-1)=3 \gdw [/mm] a-b+c=3$
Dieses Gleichungssystem düftest du am einfachsten lösen können, wenn du III von I subtrahierst (damit erhällst du b) dann etwa I von II subtrahierst (dann erhällst du eine gleichung mit a und b, b einsetzten und damit erhällst du a) und a und b schließlich in I einsetzen um c zu erhalten.
Jetzt müsstest du sicher auch auf die richtige Lösung kommen ([mm]y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1[/mm])
Diese ist übrigens völlig eindeutig bestimmt. D.h. die forderung nach einer 2. Lösung völlig absurd!
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Samuel,
> [mm]III:\,\,f(-1)=3 \gdw a-b+c=3[/mm]
Vielleicht habe ich mich verguckt, aber hat Pinz als dritten Punkt nicht eher C(-1,-3) angegeben? Ich würde deshalb sagen, daß Pinto die Aufgabe richtig gelöst hat.
Gruß
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 So 28.08.2005 | | Autor: | pinz |
kann mir nicht jemand die lösung durchgeben...?
ich hab langsam einen knopf.
*pinto
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hi,
> gegeben sind drei punkte A(1;0), B(3;1), C(-1;-3).
> gesucht sind zwei mögliche funktionen einer parabel, die
> durch diese punkte geht.
Ich finde es etwas seltsam, daß hier von zwei möglichen Parabeln die Rede ist, da eine Parabel der Form [mm] $f\left(x\right) [/mm] = [mm] ax^2+bx+c$ [/mm] durch 3 Punkte bereits eindeutig festgelegt ist. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Andererseits sind ja alle Polynome vom geraden Grad doch auch "Parabeln" oder verwechsle ich da etwas? Sollte das stimmen, und die Aufgabe auch so gemeint sein, so nimmst Du dir als nächstes eine Parabel 4ten Grades (zu der Anderen hat Roadrunner bereits etwas gesagt):
[mm] $g\left(x\right) [/mm] = [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
[/mm]
Da hier von möglichen Funktionen die Rede ist, gehe ich davon aus, daß wir die anderen Unbekannten frei bestimmen dürfen also z.B.: d = 0 und e = 0. Danach müßtest Du dieselbe Vorgehensweise anwenden wie bei der Parabel 2ten Grades (siehe Roadrunners Antwort).
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Disap |
Hey.
Oder es ist etwas ganz anderes gemeint:
> Hi,
>
>
> > gegeben sind drei punkte A(1;0), B(3;1), C(-1;-3).
> > gesucht sind zwei mögliche funktionen einer parabel,
> die
> > durch diese punkte geht.
>
evtl. soll das hier zwei mögliche Funktionsgleichungen einer Parabel heissen.
Das heisst, die Funktion
$f(x) = [mm] ax^2+bx+c [/mm] $
in die Scheitelpunktsform umwandeln.
Dieses "einer Parabel" könnte man auch als ein und der selben Parabel gedeutet werden, wenn man sich auf den Wissensstand bezieht. Ist gerade erst die Parabel zweiten Grades eingeführt worden, so würde ich das mit dem vierten Grad ausschliessen.
Grüße Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Sa 27.08.2005 | | Autor: | pinz |
naja, es steht eben französisch: il y a une infinité des possibilités.... also es gäbe unendlich viele möglichkeiten...
aber mit vierten grades hat man dann doch fünf unbekannte... und nur die drei gegebenen punkte bzw. drei gleichungen. also MUSS man wohl zwei unbekannte frei definieren!?
aloah
*pinto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 27.08.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo pinto
Karl hat sich geirrt! Nur eine quadratische Funktion ist in der mathematik eine eine Parabel! Und wenn du die Aufgabe genau liest :zwei mögliche funktionen einer!! parabel, dann kann nur gemeint sein, dass du die Parabelfkt auf 2 Weisen schreibst, das ist aber dieselbe funktion, kann es also nicht sein. aber [mm] x=ay^2+by+c [/mm] ist natürlich auch ne Parabel mit der Achse in x Richtung, das ist die einzige andere Möglichkeit die du hast! (In Wirklichkeit gibt es noch viel mehr Parabeln durch die 3 Punkte, wenn man die Achsenrichtung beliebig z.Bsp Richtung Winkelhalbierende legt. aber das ist nicht Schulstoff!)
Also bleibt für dich nur noch obige Gleichung zu lösen!
Il y a une seule possibilité, si on reflechit bien!
Gruss leduart
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