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paarweise Verschiedenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 So 26.09.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
Durch einen indirekten Beweis soll gezeigt werden, dass wenn aus den paarweise verschiedenen Zahlen q,r,s,t (mit q,r,s,t [mm] $\in \IR$) [/mm] auf die folgende Art neue Zahlen gebildet werden:

$a:=(q+r)(s+t)$, $b:=(q+s)(r+t)$, $c:=(q+t)(r+s)$.

a,b und c ebenfalls paarweise verschieden sind.



Paarweise verschieden heisst ja, dass keine zwei gleich sind. Also wäre ja die Gegenbehauptung, dass [mm]a=b[/mm].

[mm](q+r)(s+t)=(q+s)(r+t)= qs+rs+tq+tr=qr+rs+tq+ts= q(s-r)=t(s-r)= q=t[/mm]

was ja aber nicht sein kann da am Anfang festgelegt wurde dass [mm] $q\ne [/mm] t$. Reicht das jetzt schon als Beweis für die Behauptung, oder muss ich die Fälle a=c und c=b auch noch prüfen, weil es ja sein kann dass zum Beispiel 2 gleich sind (wie bei 3,2,2).

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.

        
Bezug
paarweise Verschiedenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 So 26.09.2010
Autor: jbulling

Hi Kushkush,

Deine Argumentationskette reicht völlig. Das was Du angewendet hast, ist ein Beweis durch Widerspruch. Den Widerspruch hast Du herbeigeführt.
Du musst auch c nicht extra berücksichtigen, weil sich b und c vertauschen, wenn Du s und t vertauschst.
Wenn es also eine Lösung geben würde mit a=c, dann würde es zwangsläufig auch eine für a=b geben!

Allerdings ist Deine Notation nicht ganz sauber. Du hast die Gleichung umgeformt und sie mit der ursprünglichen Gleichung gleichgesetzt, das würde so wie Du es schreibst ja bedeuten:


a=(q+r)(s+t)=q

Das stimmt natürlich nicht.

Gruß
Jürgen


Bezug
                
Bezug
paarweise Verschiedenheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 So 26.09.2010
Autor: kushkush

Dankeschön für die Hinweise jbulling.

Bezug
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