p - Urnenexperiment < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 22.08.2007 | | Autor: | mimbo |
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Hallo!
Ich hätte mal ne Frage bezüglich der Wahrscheinlichkeitsberechnung in einem bestimmten Urnenbeispiel!
In einer Urne befinden sich 4 rote und 4 schwarze Kugeln. Jedes mal wenn eine rote Kugel gezogen wird, wird an ihrer Stelle eine schwarze Kugel zurückgelegt.
Frage: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit zB. 5 mal ziehen alle roten herauszufischen?
Kann mir jemand den Lösungsweg verraten?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mi 22.08.2007 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich hätte mal ne Frage bezüglich der
> Wahrscheinlichkeitsberechnung in einem bestimmten
> Urnenbeispiel!
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> In einer Urne befinden sich 4 rote und 4 schwarze Kugeln.
> Jedes mal wenn eine rote Kugel gezogen wird, wird an ihrer
> Stelle eine schwarze Kugel zurückgelegt.
> Frage: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit zB. 5 mal
> ziehen alle roten herauszufischen?
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> Kann mir jemand den Lösungsweg verraten?
Wenn einem nichts Besseres einfällt, kann man sich immer das zugehörige Baumdiagramm aufmalen, das ist ein Lösungsweg. Hier hat man max. 5 Stufen, und es müssen nicht alle Pfade bis zum Ende geführt werden, es bleibt also überschaubar.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Hallo!
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> Ich hätte mal ne Frage bezüglich der
> Wahrscheinlichkeitsberechnung in einem bestimmten
> Urnenbeispiel!
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> In einer Urne befinden sich 4 rote und 4 schwarze Kugeln.
> Jedes mal wenn eine rote Kugel gezogen wird, wird an ihrer
> Stelle eine schwarze Kugel zurückgelegt.
Diese Aufgabenstellung ist nicht gerade präzise: was geschieht, wenn eine schwarze Kugel gezogen wird? Wird sie zurückgelegt? - Ich nehme einmal an, dass sie zurückgelegt wird.
> Frage: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit zB. 5 mal
> ziehen alle roten herauszufischen?
Falls Dir das Zeichnen eines Baumdiagrammes zu mühsam erscheint (mir selbst wäre es jedenfalls zu mühsam), dann könntest Du so überlegen: die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, bei diesem 5maligen Ziehen genau eine schwarze Kugel zu ziehen. Also muss man 5 Fälle unterscheiden (je nach dem, ob die eine schwarze Kugel im ersten, im zweiten, ..., im fünften Zug gezogen wird), deren Wahrscheinlichkeiten sich auch ohne Baum leicht hinschreiben lassen:
[mm]\begin{array}{rcl}
\mathrm{P}(\text{genau eine schwarze Kugel})&=&\phantom{+}\blue{\frac{4}{8}}\cdot\frac{4}{8}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{8}\\[.3cm]
&&+\frac{4}{8}\cdot\blue{\frac{5}{8}}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{8}\\[.3cm]
&&+\frac{4}{8}\cdot\frac{3}{8}\cdot\blue{\frac{6}{8}}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{8}\\[.3cm]
&&+\frac{4}{8}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{8}\cdot\blue{\frac{7}{8}}\cdot\frac{1}{8}\\[.3cm]
&&+\frac{4}{8}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{8}\cdot\blue{\frac{8}{8}}
\end{array}[/mm]
Blau markiert diejenigen Wahrscheinlichkeiten, die dem Ziehen der einen schwarzen Kugel entsprechen. Wie Du siehst, tritt in allen fünf Fällen das Produkt [mm] $\frac{4}{8}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{8}$ [/mm] auf, weil ja die vier roten Kugeln gezogen werden müssen und deren Zahl bei jedem Zug einer roten Kugel um eins kleiner wird. Zudem bleibt die Gesamtzahl der Kugeln konstant. Diese hätte man eventuell voraussehen und gleich folgende Vereinfachung hinschreiben können:
[mm]\mathrm{P}(\text{genau eine schwarze Kugel})=\big(\blue{\frac{4}{8}}+\blue{\frac{5}{8}}+\blue{\frac{6}{8}}+\blue{\frac{7}{8}}+\blue{\frac{8}{8}}\big)\cdot \frac{4}{8}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{8}[/mm]
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