p-sylow-gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Sa 29.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Konstruktion von Normalteilern über sylow-sätze
sylow-sätze:
sei p eine primzahl und G einer Gruppe mit [mm] |G|=p^{r}m, [/mm] wobei r,m [mm] \in \IN, p\not=m [/mm] und r [mm] \ge [/mm] 1
1. es existiert eine p-sylow-gruppe S [mm] \subset [/mm] G
2. für alle p-untergruppen H [mm] \subset [/mm] G existiert eine p-sylow-gruppe S [mm] \subset [/mm] G, so dass H [mm] \subset [/mm] S
3. S,S' sind p-sylow-gruppen, dann existiert ein a [mm] \in G:S'=aSa^{-1} [/mm] und für alle [mm] g\in [/mm] G: [mm] gSg^{-1} [/mm] ist p-sylow-gruppe
4. [mm] |Syl_{p}(G)|=s \Rightarrow [/mm] s|m und s [mm] \equiv [/mm] 1 (p) |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade bzgl. meiner examensvorbereitung mit den p-sylow-gruppen bzw spezieller mit den sylow-sätzen.
aus diesen lässt sich ja ableiten, dass eine gruppe einen nicht-trivialen normalteiler besitzt, falls sie eine "eindeutige" p-sylow-gruppe besitzt, denn:
1. [mm] \Rightarrow \exists [/mm] p-sylow-gruppe S [mm] \subset [/mm] G
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: [mm] gSg^{-1} [/mm] ist p-sylow-gruppe nach 3.
[mm] \Rightarrow gSg^{-1}=S, [/mm] falls S ist einzige p-sylow-untergruppe
[mm] \Rightarrow [/mm] S ist normalteiler
wenn nun [mm] |G|=p^{r}m [/mm] mit m ist ebenfalls eine primzahl, aber p [mm] \not= [/mm] m, dann folgt immer, dass [mm] |Syl_{p}|=1 [/mm] und die entsprechende p-sylow-gruppe ist somit normalteiler.
jetzt habe ich aber in einem prüfungsprotokoll gelesen, dass der prof nach der begründung für die existenz eines normalteilers einer gruppe der ordnung 56 anhand der sylow-sätze gefragt hat
wenn ich dieses problem angehe, komme ich darauf, dass es entweder 1 oder 8 7-sylow-gruppen bzw. eine oder 7 2-sylow-gruppen gibt.
laut prüfungsprotokoll folgt aus dem 3. sylow-satz, dass es entweder nur 1 7-sylow-gruppe oder nur eine 2-sylow-gruppe gibt und nach dem 2. sylow-satz gilt dann, dass ein normalteiler existiert
diese folgerungen sind mir beide nicht klar. es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
grüße,
patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mo 31.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Patrick!
> Konstruktion von Normalteilern über sylow-sätze
>
> sylow-sätze:
> sei p eine primzahl und G einer Gruppe mit [mm]|G|=p^{r}m,[/mm]
> wobei r,m [mm]\in \IN, p\not=m[/mm] und r [mm]\ge[/mm] 1
>
> 1. es existiert eine p-sylow-gruppe S [mm]\subset[/mm] G
> 2. für alle p-untergruppen H [mm]\subset[/mm] G existiert eine
> p-sylow-gruppe S [mm]\subset[/mm] G, so dass H [mm]\subset[/mm] S
> 3. S,S' sind p-sylow-gruppen, dann existiert ein a [mm]\in G:S'=aSa^{-1}[/mm]
> und für alle [mm]g\in[/mm] G: [mm]gSg^{-1}[/mm] ist p-sylow-gruppe
> 4. [mm]|Syl_{p}(G)|=s \Rightarrow[/mm] s|m und s [mm]\equiv[/mm] 1 (p)
> Hallo zusammen,
> ich beschäftige mich gerade bzgl. meiner
> examensvorbereitung mit den p-sylow-gruppen bzw spezieller
> mit den sylow-sätzen.
>
> aus diesen lässt sich ja ableiten, dass eine gruppe einen
> nicht-trivialen normalteiler besitzt, falls sie eine
> "eindeutige" p-sylow-gruppe besitzt, denn:
>
> 1. [mm]\Rightarrow \exists[/mm] p-sylow-gruppe S [mm]\subset[/mm] G
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G: [mm]gSg^{-1}[/mm] ist p-sylow-gruppe
> nach 3.
> [mm]\Rightarrow gSg^{-1}=S,[/mm] falls S ist einzige
> p-sylow-untergruppe
> [mm]\Rightarrow[/mm] S ist normalteiler
Nicht perfekt aufgeschrieben, aber ok.
> wenn nun [mm]|G|=p^{r}m[/mm] mit m ist ebenfalls eine primzahl, aber
> p [mm]\not=[/mm] m, dann folgt immer, dass [mm]|Syl_{p}|=1[/mm] und die
> entsprechende p-sylow-gruppe ist somit normalteiler.
>
> jetzt habe ich aber in einem prüfungsprotokoll gelesen,
> dass der prof nach der begründung für die existenz eines
> normalteilers einer gruppe der ordnung 56 anhand der
> sylow-sätze gefragt hat
>
> wenn ich dieses problem angehe, komme ich darauf, dass es
> entweder 1 oder 8 7-sylow-gruppen bzw. eine oder 7
> 2-sylow-gruppen gibt.
>
> laut prüfungsprotokoll folgt aus dem 3. sylow-satz, dass
> es entweder nur 1 7-sylow-gruppe oder nur eine
> 2-sylow-gruppe gibt und nach dem 2. sylow-satz gilt dann,
> dass ein normalteiler existiert
>
> diese folgerungen sind mir beide nicht klar. es wäre nett,
> wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Da braucht man einen Trick: man schaut sich an, wieviele Elemente es von Ordnung 7 bzw. 2 gibt/geben kann/geben muss.
Zwei Untergruppen der Ordnung 7 sind entweder gleich oder haben nur das neutrale Element gemeinsam (warum?). Wenn es also 8 7-Sylow-UGen gibt, so muss es $8 [mm] \cdot [/mm] (7 - 1) = 48$ Elemente der Ordnung 7 geben. Es gibt ein Element der Ordnung 1, womit es hoechstens 56 - 48 - 1 = 7 Elemente der Ordnung 2 (oder 4 oder 8) geben kann.
Jede 2-Sylow-UG umfasst jetzt jedoch 8 Elemente. Kann es also mehr als eine 2-Sylow-UG geben?
LG Felix
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