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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:29 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Gedro |
| Aufgabe | Sei P eine Primzahl, setze [mm] v_{p}(x):=m, [/mm] wobei m [mm] \in\IZ [/mm] die eindeutige Zahl ist, so dass [mm] x=p^{m}\bruch{a}{b} [/mm] für [mm] a\in\IZ, b\in\IN [/mm] mit p kein Teiler von a und b. Sei [mm] \alpha \in [/mm] (0,1). Zeige, dass
[mm] d:\IQ [/mm] x [mm] \IQ\to\IR [/mm] , [mm] (x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ \alpha^{v_{p}(x-y)}, & \mbox{für } x \not= y \end{cases}
[/mm]
eine Ultrametrik auf [mm] \IQ [/mm] ist. |
Hallo,
die Reflexivität und Symmetrie dieser Abbildung habe ich schon bewiesen, aber ich komme bei der Ungleichung
d(x,z) [mm] \le [/mm] max{d(x,y), d(y,z)}
nicht weiter.
Mir ist bewusst, dass ich eigentlich nur zeigen muss, dass [mm] v_{p}(x-y) \le v_{p}(x-z) [/mm] oder [mm] v_{p}(y-z) \le v_{p}(x-z) [/mm] ist, da nämlich [mm] \alpha \in [/mm] (0,1) ist.
Aber ich habe leider nicht mal einen Ansatz wie ich beweisen, soll dass das jeweilige m in [mm] (x-z)=p^{m}\bruch{a}{b} [/mm] größer ist als das [mm] m^{'} [/mm] in [mm] (x-y)=p^{m^{'}}\bruch{c}{d} [/mm] oder das [mm] m^{''} [/mm] in [mm] (y-z)=p^{m^{''}}\bruch{e}{f}. [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 11.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Fr 13.04.2012 | | Autor: | anon |
Benutze:
$a:= [mm] mp^{u} [/mm] , b:= [mm] np^{v}$ [/mm] und dann:
[mm] $a+b=(mp^{u}+np^{v})= p^{u}(m+np^{v-u})$
[/mm]
jetzt die p-adische Bewertung anwenden und du erhältst die gewünschte Ungleichung.
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