p-Sylowgruppen, A_5 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:06 Sa 14.11.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich würde gerne mir die 2-,3- und 5-Sylowgruppen der [mm] A_5 [/mm] anschauen.
Hinweis:
Ich verwende absichtlich nirgends, dass die [mm] A_5 [/mm] einfach ist, denn für den Beweis haben wir die Sylowgruppen gebraucht. Natürlich "darf" ich dass dann hier nicht verwenden. |
Hallo,
[mm] |A_5|=2^2*3*5
[/mm]
Sei [mm] s_3 [/mm] die Anzahl der 3 Sylowgruppen. Nach Sylowsätze [mm] s_3|2^2*5, [/mm] d.h. [mm] s_3|20 [/mm] und [mm] s_3 \equiv [/mm] 1 mod 3
[mm] \Rightarrow s_3 \in \{1,4,10\}
[/mm]
3-Sylowgruppen haben 3 Elemente, sind also zyklisch und dementsprechend von Element der Ordnung 3 aufgespannt. Eine 3-Sylowgruppe enthält zwei Elemente der Ordnung 3 und das neutrale Element nach Lagrange.
Es gibt [mm] \vektor{5\\ 3}\frac{3!}{3} [/mm] = 20 3-Zyklen. 3-Zyklen sind Elemente der Ordnung 3. Diese lassen sich aufteilen in 10 3-Sylowgruppen
[mm] \{id, (abc),(acb)\} [/mm] ist die Gestalt der 3-Sylogruppen.
Sei [mm] s_5 [/mm] die Anzahl der 5-Sylowgruppen. Nach Sylowsätzen [mm] s_5|2^2*3, [/mm] d.h. [mm] s_5|12 [/mm] und [mm] s_5 \equiv [/mm] 1 mod 5
[mm] \Rightarrow s_5 \in \{1,6\}
[/mm]
Durch die gleiche Argumentation wie oben folgt [mm] \{id, (abcde),(acebd),(adbec),(aedcb)\} [/mm] ist die Gestalt der 6 5-Sylowgruppen.
Ich habe nun Probleme bei den 2-Sylowgruppen:
[mm] s_2|3*5, [/mm] d.h. [mm] s_2|15 [/mm] und [mm] s_2 \equiv [/mm] 1 mod 2
[mm] \Rightarrow s_2 \in \{1,3,5,15\}
[/mm]
2-Sylowgruppen haben 4Elemente. Gruppen mit 4 Elementen sind entweder zyklisch (isomorph zu [mm] \mathbb{Z}_4) [/mm] oder nicht zyklisch(isomorph zu [mm] \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)
[/mm]
Zyklische Gruppen der Ordnung 4 müssen von einen Element der Ordnung 4 erzeugt werden. In [mm] A_5 [/mm] gibt es keine Viererzyklen.
Frage 1: Aber gibt es andere Elemente der Ordnung 4 in der [mm] A_5 [/mm] außer den Viererzyklen? Wie beweise ich, dass es keine anderen gibt?
Wäre die Frage geklärt würde folgen die 2-Sylowgruppe enthält 3 Elemente der Ordnung 2 und das neutrale Element.
Frage 2:Wie finde ich nun alle Elemente der Ordnung 2 zusammen oder ist das gar nicht zielführend um die 2-Sylowgruppen zu finden??
Ich habe mir nur überlegt mittels Skriptum und Internet, dass [mm] s_2\not=15.
[/mm]
Denn wäre [mm] s_2 [/mm] =15 so schaue ich mir die Operation an:
[mm] \begin{cases}A_5 \times Syl_2(A_5)\rightarrow Syl_2(A_5) \\ (\sigma,S)\mapsto \sigma S \sigma^{-1} \end{cases}
[/mm]
Sei [mm] V=\{id, (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}
[/mm]
[mm] 15=s_2=|\{\sigma S \sigma^{-1}|\sigma \in A_5\}|=[A_5:N_{A_5}(V)]= \frac{60}{|N_{A_5}(V)|} \Rightarrow |N_{A_5}(V)|=4 [/mm] wobei [mm] N_{A_5}(V) [/mm] der Normalisator von V ist(der Normalisator ist in dieser Operation genau der Stabilisator/Isotropoegruppe von S)
Ich verwende oben, dass die Kardinalität der Bahn von S gleich dem Index der Isotropiegruppe von S in [mm] A_5 [/mm] ist.
Nun ist aber V [mm] \subseteq N_{A_5} [/mm] (V) trivialerweise und durch eine Rechnung auch (123) [mm] \in N_{A_5} [/mm] (V). Also [mm] |N_{A_5}(V)| \ge [/mm] 5. Also ein Widerspruch.
Nach Lösung gibt es 5 Sylowgruppen der Gestalt [mm] \{id, (ab)(cd),(ac)(bd),(ad)(bc)\}.
[/mm]
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 16.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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