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p-Sylowgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Sa 24.03.2012
Autor: tau

Aufgabe
Sei G endlich und abelsche Gruppe, so hat G eine einzige p-Sylowgruppe.

Hat jemand ne Idee wie diese Aussage beweisen kann? MFG

        
Bezug
p-Sylowgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Sa 24.03.2012
Autor: Schadowmaster


> Sei G endlich und abelsche Gruppe, so hat G eine einzige
> p-Sylowgruppe.
>  Hat jemand ne Idee wie diese Aussage beweisen kann? MFG  

moin,

Zuerst einmal sollte die Mächtigkeit von $G$ doch gerne durch $p$ teilbar sein, denn sonst hat $G$ garkeine $p$-Sylowgruppe.
Wenn die Teilbarkeit erfüllt ist: Kennst du diesen Satz: Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
Wenn du den kennst dann überleg dir, dass du de facto nur die im Link aufgeführten Produkte von [mm] $\IZ_n$ [/mm] betrachten musst; für diese solltest du die Aussage gezeigt kriegen.

lg

Schadow


Bezug
                
Bezug
p-Sylowgruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 So 25.03.2012
Autor: felixf

Moin Schadow

> > Sei G endlich und abelsche Gruppe, so hat G eine einzige
> > p-Sylowgruppe.
>  >  Hat jemand ne Idee wie diese Aussage beweisen kann? MFG
>  
>
> moin,
>  
> Zuerst einmal sollte die Mächtigkeit von [mm]G[/mm] doch gerne
> durch [mm]p[/mm] teilbar sein, denn sonst hat [mm]G[/mm] garkeine
> [mm]p[/mm]-Sylowgruppe.

Doch: [mm] $\{ e \}$. [/mm]

>  Wenn die Teilbarkeit erfüllt ist: Kennst du diesen Satz:
> Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
>  
> Wenn du den kennst dann überleg dir, dass du de facto nur
> die im Link aufgeführten Produkte von [mm]\IZ_n[/mm] betrachten
> musst; für diese solltest du die Aussage gezeigt kriegen.

Es geht noch wesentlich einfacher, indem man den []2. Sylowsatz verwendet. Damit ist das ganze ein Einzeiler.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
p-Sylowgruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:34 Mo 26.03.2012
Autor: hippias

Und falls noch Bedarf an weiteren Alternativen bestehen sollte: Man kann im abelschen Fall die $p$-Sylowgruppen auch direkt angeben als Menge aller $p$-Elemente. Fuer den Nachweis, dass dies tatsaechlich dann die $p$-Sylowgruppe ist, benoetigt man nur den Satz von Cauchy.

Bezug
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