p-Quantil Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist [mm] $u_p$ [/mm] das $p$-Quantil der Standardnormalverteilung, so ist [mm] $\sigma u_p+\mu$ [/mm] das $p$-Quantil der Normalverteilung mit Parametern [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$.\\ [/mm] |
Habe keine genaue Idee wie ich hier rangehen soll. Folgende Ansätze habe ich:
Die Dichte der Normalverteilung mit den Parametern [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] ist wie folgt definiert:
[mm] f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]
[/mm]
Ich würde jetzt hierfür das Quantil mittels [mm] p=\int_{-\infty}^{x_p} [/mm] f(x) dx bestimmen wollen. Muss ich hier [mm] p=$\sigma u_p+\mu$ [/mm] setzen aus der aufganstellung und wie bekomme ich den bezug zum quantil der standardnormalverteilung?könnt ihr helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 So 16.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ich würde jetzt hierfür das Quantil mittels
> [mm]p=\int_{-\infty}^{x_p}[/mm] f(x) dx bestimmen wollen.
Stimmt. Dafuer kannst du auch schreiben [mm] $p=F(x_p)=\Phi((x_p-\mu)/\sigma)=\Phi(u_p)$.
[/mm]
Dabei ist F die Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] ...
vg Luis
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Wir bestimmen das $p$-Quantil mittels:
[mm] p & =\int_{-\infty}^{x_p}f(x)\text{dx}\\
[/mm]
[mm] & =F(x_p) \\
[/mm]
[mm] & =\Phi\left(\frac{x_p-\mu}{\sigma}\right)\\
[/mm]
[mm] & =\Phi(u_p)
[/mm]
das hab ich nun...was bedeutet denn der letzte schritt, habe zwar gefunden das für Quantile [mm] $u_p$ [/mm] für gegebene p die die letzte zeile erfüllen die werte [mm] $\Phi(u_p)=p$ [/mm] und vertafelt sind aber das versteh ich nicht. wo habe ich den nu den "so ist [mm] $\sigma u_p+\mu$ [/mm] das $p$-Quantil der
Normalverteilung mit Parametern [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$" [/mm] verwendet...bin planlos is schon spät  ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 So 16.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin honkmaster,
es liegen zwei Normalverteilungen vor:
Normalverteilung 1 hat die die Dichte f, die Verteilungsfunktion
[mm] $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(x)\, [/mm] dx$, den Erwartungswert [mm] \mu, [/mm] die
Standardabweichung [mm] \sigma [/mm] und die Prozentpunkte [mm] $x_p$ [/mm] mit [mm] $F(x_p)=p$.
[/mm]
Normalverteilung 2 hat die die Dichte [mm] $\varphi(u)=\exp[-2u^2]/\sqrt{2\pi}$,
[/mm]
die Verteilungsfunktion [mm] $\Phi(u)=\int_{-\infty}^{u} \phi(x)\, [/mm] dx$, den Erwartungswert 0, die Standardabweichung 1 und die Prozentpunkte [mm] $u_p$ [/mm] mit [mm] $\Phi(u_p)=p$.
[/mm]
Zwischen den beiden Verteilungen gibt es verschiedene Zusammenhaenge.
Z.B. gilt
[mm] $f(x)=\frac{1}{\sigma}\varphi\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$ [/mm] und [mm] $F(x)=\Phi\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$.
[/mm]
Wegen [mm] $F(x_p)=\Phi\left(\dfrac{x_p-\mu}{\sigma}\right)$ [/mm] gibt es auch
den in der Aufgabenstellung genannten Zusammenhang zwischen [mm] $x_p$ [/mm] und [mm] $u_p$.
[/mm]
vg Luis
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