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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - p-Norm und Maximums-Norm
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p-Norm und Maximums-Norm: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Mo 04.05.2009
Autor: Theta

Aufgabe
1. Zeigen Sie: Für [mm] p\in[1,\infty] [/mm] ist [mm] \parallel\cdot\parallel_{p} [/mm] mit [mm] \parallel x\parallel_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p} [/mm] eine Norm auf dem [mm] \mathbb{R}^n [/mm]
2. Für alle [mm] x\in\mathbb{R}^n [/mm] gilt [mm] \limes_{p\rightarrow\infty}\parallel x\parallel_p=\parallel x\parallel_{\infty}=max\{|x_i| | i=1,...,n\} [/mm]

Hallo zusammen,

ich arbeite momentan an obiger Aufgabe und könnte stellenweise etwas Hilfe gebrauchen.
Zunächst habe ich [mm] p\in[1,\infty) [/mm] betrachtet und dann die Maximumsnorm noch mal zusätzlich nachgewiesen. Beim ersten Fall fehlt mir aber der Trick mit der richtigen Abschätzung für die Dreiecksungleichung. Ich komme bis:

[mm] (\parallel x+y\parallel_p)^p=\sum_{i=1}^n |x_i [/mm] + [mm] y_i|^p=\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^p\vektor{p \\ k}x_i^{p-k}y_i^k [/mm]

Und vor da will ich zu:
[mm] \leq \sum_{i=1}^n |x_i|^p\sum_{i=1}^n|y_i|^p=\parallel x\parallel_p \parallel y\parallel_p [/mm]

Bislang will mir aber die Abschätzung zwischen beiden Seiten nicht gelingen.


Und zur zweiten Aufgabe habe ich noch keine richtige Idee. Wäre nett, wenn ich den einen oder anderen Hinweis bekommen könnte.

Vielen Dank und Grüße aus Hamburg,
Theta


Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.

        
Bezug
p-Norm und Maximums-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mo 04.05.2009
Autor: fred97

Zu 1. Minkowskische Ungleichung:

http://www.mathepedia.de/Minkowskische_Ungleichung.aspx


Zu 2.:

Sei x = [mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) \in \IR^n. [/mm] Es gibt ein [mm] j_0 \in [/mm] {1, ..., n} mit

              [mm] $|x_{j_0}| [/mm] = [mm] ||x||_{\infty}$ [/mm]

Dann:

              [mm] $||x||_{\infty} [/mm] = [mm] (|x_{j_0}|^p)^{1/p} \le (\summe_{i=1}^{n}|x_{j}|^p)^{1/p} [/mm] = [mm] ||x||_p \le (\summe_{i=1}^{n}|x_{j_0}|^p)^{1/p} [/mm] = [mm] (n|x_{j_0}|^p)^{1/p} [/mm] = [mm] \wurzel[p]{n}||x||_{\infty}$ [/mm]


Also

          [mm] $||x||_{\infty} \le ||x||_p \le \wurzel[p]{n}||x||_{\infty}$ [/mm]


Jetzt $p [mm] \to \infty$ [/mm]

FRED

                
              
              

Bezug
                
Bezug
p-Norm und Maximums-Norm: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Mo 04.05.2009
Autor: Theta

Minkowskische Ungleichung haben wir nicht gehabt, aber den Beweis sollte man hinbekommen.
Und zu 2. werde ich mal sehen ob ich da nicht was hinbekomme.

Jedenfalls erstmal danke für die Hinweise.


Gruß,
Theta

Bezug
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