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hi,
mit der folgenden frage, kann ich gar nichts anfangen, ich weiß zwar die einzelheiten, der verschiedenen dinge, aber ich kann sie irgendwie nicht richtig verknüpfen.
man zeige, dass die funktion [mm] \phi_{0} (x)\equiv \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}
[/mm]
ein Orthonormalsystem des Teilraums [mm] T_{n} \subset C[-\pi,\pi] [/mm] der trigonometrischen Polynomen vom grad [mm] \le [/mm] n bzgl. des [mm] L^{2} [/mm] -Skalarprodukts üder dem Intervall [mm] [-\pi,\pi] [/mm] ist und bestimme die beste approximation der funktion f(x)=x in [mm] T_{n}.
[/mm]
das [mm] L^{2}-Skalarprodukt [/mm] ist definiert als:
[mm] (f,g)\equiv \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) [mm] \overline{g(x)} [/mm] dx} , (f,f)= [mm] \parallel f\parallel^{2}
[/mm]
ich habe keine ahnung, wie ich die ganzen definitionen verknüpfen soll, da mir etwas derartiges noch nicht untergekommen ist.
bitte helft mir
greetz
dschingis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dschingis!
Für eine Funktion [mm] $\phi_0$ [/mm] bedeutet "Orthonormalsystem" ja einfach nur
[mm] $\Vert \phi_0 \Vert=1$,
[/mm]
was man aber unmittelbar (einfach!) nachrechnet.
Für den zweiten Teil musst du dir eine Orthonormalsystem [mm] $(\phi_k)_{k \in \IZ}$ [/mm] aus [mm] $T_n$ [/mm] hernehmen (oder mit Gram-Schmidt aus einer beliebigen Basis von [mm] $T_n$ [/mm] "basteln") und dann die Bestapproximierende gemäß
[mm] $\sum\limits_{k \in \IZ} \langle f,\phi_k \rangle \phi_k$
[/mm]
berechnen.
Leider kenne ich mich mit dem Raum [mm] $T_n$ [/mm] zu wenig aus, sonst würde ich dir genauere Tipps (etwa über das Aussehen der ON-Basis) geben. Vielleicht kann dir ja jemand anderes besser helfen. Andererseits hast du so wenigstens Anhaltspunkte darüber, wonach du in deinem Skript mal suchen könntest.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo dschingis,
> man zeige, dass die funktion [mm]\phi_{0} (x)\equiv \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}[/mm]
>
> ein Orthonormalsystem des Teilraums [mm]T_{n} \subset C[-\pi,\pi][/mm]
> der trigonometrischen Polynomen vom grad [mm]\le[/mm] n bzgl. des
> [mm]L^{2}[/mm] -Skalarprodukts üder dem Intervall [mm][-\pi,\pi][/mm] ist und
hier ist folgendes nachzuprüfen:
[mm]\begin{gathered}
\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {\phi _0 \left( x \right)\;} \phi _0 \left( x \right)\; = \;1 \hfill \\
\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {\phi _0 \left( x \right)\;} \sin \left( {kx} \right)\; = \;0 \hfill \\
\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {\phi _0 \left( x \right)\;} \cos \left( {kx} \right)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Ein Orthonormalsystem ist also durch [mm]\phi _0 \left( x \right),\;\sin \left( x \right),\;\cos \left( x \right),\;\sin \left( {2x} \right),\;\cos \left( {2x} \right),\; \ldots \;,\;\sin \left( {nx} \right),\;\cos \left( {nx} \right)[/mm] gegeben.
> bestimme die beste approximation der funktion f(x)=x in
> [mm]T_{n}.[/mm]
>
> das [mm]L^{2}-Skalarprodukt[/mm] ist definiert als:
>
> [mm](f,g)\equiv \integral_{a}^{b} {f(x) \overline{g(x)} dx}[/mm] ,
> (f,f)= [mm]\parallel f\parallel^{2}[/mm]
Hier sind dann folgende Integrale zu berechnen:
[mm]\begin{gathered}
\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \phi _0 \left( x \right)\; = \;a_{0} \hfill \\
\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \sin \left( {kx} \right)\; = \;b_{k} \hfill \\
\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \cos \left( {kx} \right)\; = \;a_{k} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Dann schreibt sich x als trigonometrisches Polynom wie folgt:
[mm]T_{n} \left( x \right)\; = \;a_0 \; + \;\sum\limits_{k = 1}^{n} {\left( {a_{k} \;\cos \left( {kx} \right)\; + \;b_{k} \;\sin \left( {kx} \right)} \right)} [/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower,
Wie genau der Begriff Orthonormalsystem definiert ist weiß ich nicht. Für eine Orthonormalbasis müsste man die cos und sin Funktionen aber noch durch [mm] \pi [/mm] teilen.
Für die Berechneung der Koeffizienten des trigonometrischen Polynoms ist das auf jeden Fall erforderlich da sonst die Bestapproximation von cos(x) [mm] \pi\cos(x) [/mm] wäre was ja keinen Sinn macht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Di 17.05.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo mathemaduenn.
> Hallo Mathepower,
> Wie genau der Begriff Orthonormalsystem definiert ist weiß
> ich nicht. Für eine Orthonormalbasis müsste man die cos und
> sin Funktionen aber noch durch [mm]\pi[/mm] teilen.
> Für die Berechneung der Koeffizienten des
> trigonometrischen Polynoms ist das auf jeden Fall
> erforderlich da sonst die Bestapproximation von cos(x)
> [mm]\pi\cos(x)[/mm] wäre was ja keinen Sinn macht.
in meiner Eile hab ich den Faktor [mm]\pi[/mm] vergessen
Es muss also heißen ( k > 0):
[mm]\begin{gathered}
\frac{1}
{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \sin \left( {kx} \right)\; = \;b_k \hfill \\
\frac{1}
{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \cos \left( {kx} \right)\; = \;a_k \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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