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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 12.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Normalisiere den Vektor (1+i,1,0) und ergänze zu einer ONB des [mm] \mathbb{C}^3. [/mm] |
Hallo,
ich würde eine solche Frage normalerweise nicht stellen, aber ich habe eine Lösung zu dieser Aufgabe erhalten, die mich doch etwas verwirrt.
Erstmal meine Lösung:
2 orthogonale Vektoren wären (-1,1+i,0) und (0,0,1). Dann sind alle paarweise orthogonal.
Das normieren von (1+i,1,0) liefert: [mm] \frac{\sqrt{1+2i}}{1+2i} [/mm] und für
(-1,1+i,0) folgt normiert: [mm] \frac{\sqrt{1+2i}}{1+2i}(-1,1+i,0).
[/mm]
Die Norm des letzten Vektors ist natürlich 1.
Die Lösung die ich bekommen habe, liefert mir aber diese Vektoren, die dann eine ONB bilden sollen:
[mm] \frac{1}{\sqrt{3}}(1+i,1,0), \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1-i,0) [/mm] und (0,0,1).
Aber warum soll jetzt die Norm des ersten Vektors [mm] \frac{\sqrt{3}}{3} [/mm] sein und nicht das was ich raushabe?
Und warum sind (1+i,1,0), (-1,1-i,0) überhaupt orthogonal? Bei mir kommt beim Skalarprodukt nicht null raus, sondern -2i?
Was stimmt nun?
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Hallo,
ich glaube, Du hast vergessen, daß Du es hier mit einem hermiteschen Skalarprodukt zu tun hast, also [mm] =\overline{x}^tx
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 So 12.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Es sei [mm] v\in \mathbb{C}^n. [/mm] Beh.: gilt [mm] v^{t}\overline{w}=0 \forall w\in \mathbb{C}^n, [/mm] dann ist v=0. |
Hallo nochmal,
das hatte ich in der Tat vergessen. Deshalb nochmal obige Frage. Kann ich da nicht einfach schreiben: Es gilt: [mm] v^{t}\overline{w}=\langle [/mm] v,w [mm] \rangle,
[/mm]
und wenn gilt [mm] \langle [/mm] v,w [mm] \rangle=0 \forall [/mm] w, dann ist v=0.
Oder muss man es noch etwas komlizierter ausmultiplizieren usw. ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei [mm]v\in \mathbb{C}^n.[/mm] Beh.: gilt [mm]v^{t}\overline{w}=0 \forall w\in \mathbb{C}^n,[/mm]
> dann ist v=0.
>
> Hallo nochmal,
>
> das hatte ich in der Tat vergessen. Deshalb nochmal obige
> Frage. Kann ich da nicht einfach schreiben: Es gilt:
> [mm]v^{t}\overline{w}=\langle[/mm] v,w [mm]\rangle,[/mm]
> und wenn gilt [mm]\langle[/mm] v,w [mm]\rangle=0 \forall[/mm] w, dann ist
> v=0.
> Oder muss man es noch etwas komlizierter ausmultiplizieren
> usw. ?
Das darfst du genauso so aufschreiben, wie ich folgenden Beweis des ![[]](/images/popup.gif) letzten Satzes von Fermat wie folgt aufschreiben darf:
Behauptung: ist $n [mm] \ge [/mm] 3$ und sind $x, y, z [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $x^n [/mm] + [mm] y^n [/mm] = [mm] z^n$, [/mm] so gilt $x y z = 0$.
Beweis: Aus [mm] $x^n [/mm] + [mm] y^n [/mm] = [mm] z^n$ [/mm] folgt, dass mindestens ein Wert von $x, y, z$ gleich 0 sein muss.
Aufschreiben darf ich das, nur wird das niemand als Beweis akzeptieren.
Sprich: du sollst nicht einfach die Behauptung umformuliert hinschreiben und das als "Beweis" betrachten, sondern die Aussage auch wirklich beweisen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Unk |
Gut ich probiere es mal auf eine andere Art:
Sei [mm] $v:=(v_{1},...,v_{n}),\overline{w}:=(\overline{w_{1}},...,\overline{w_{n}}),$
[/mm]
mit [mm] $v_{s}=x_{s}+iy_{s}$ [/mm] und [mm] $\overline{w_{s}}:=a_{s}+ib_{s},$ $x_{s},y_{s},a_{s},b_{s}\in\mathbb{R}$
[/mm]
für alle $s.$
Dann also: [mm] $0=v^{t}\overline{w}=\sum_{s=1}^{n}v_{s}\overline{w_{s}}=\sum_{s=1}^{n}(x_{s}+iy_{s})(a_{s}+ib_{s})=\sum_{s=1}^{n}x_{s}a_{s}+y_{s}b_{s}+i(a_{s}y_{s}-b_{s}x_{s}).$\\
[/mm]
Kann ich an dieser Stelle schon folgern, dass $v=0$ sein muss?
Letztenendes müsste doch jeder Summand 0 sein, da es ja für alle $w$
gelten muss. Und das wäre der Fall wenn $v=0.$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:31 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gut ich probiere es mal auf eine andere Art:
> Sei
> [mm]v:=(v_{1},...,v_{n}),\overline{w}:=(\overline{w_{1}},...,\overline{w_{n}}),[/mm]
> mit [mm]v_{s}=x_{s}+iy_{s}[/mm] und [mm]\overline{w_{s}}:=a_{s}+ib_{s},[/mm]
> [mm]x_{s},y_{s},a_{s},b_{s}\in\mathbb{R}[/mm]
> für alle [mm]s.[/mm]
> Dann also:
> [mm]0=v^{t}\overline{w}=\sum_{s=1}^{n}v_{s}\overline{w_{s}}=\sum_{s=1}^{n}(x_{s}+iy_{s})(a_{s}+ib_{s})=\sum_{s=1}^{n}x_{s}a_{s}+y_{s}b_{s}+i(a_{s}y_{s}-b_{s}x_{s}).[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Kann ich an dieser Stelle schon folgern, dass [mm]v=0[/mm] sein
> muss?
Je nachdem wie gut du bist, schon. Wenn du fragst, ob du das erkennen kannst, eher nicht :)
Setz doch mal fuer $w$ ein paar geschickt gewaehlte Vektoren ein. So welche mit ganz vielen Nullen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Setz doch mal fuer [mm]w[/mm] ein paar geschickt gewaehlte Vektoren
> ein. So welche mit ganz vielen Nullen.
>
> LG Felix
>
Ok [mm] \overline{w}=(0,...,0,a_{j}-ib_{j},0,...,0).
[/mm]
Dann ergibt sich: [mm] 0=v^{t}\overline{w}=(x_{j}+iy_{j})(a_{j}-ib_{j})=x_{j}a_{j}-ib_{j}x_{j}+iy_{j}a_{j}+y_{j}b_{j}=x_{j}a_{j}+y_{j}b_{j}+i(y_{j}a_{j}-b_{j}x_{j})
[/mm]
Dann gilt:
[mm] x_{j}a_{j}+y_{j}b_{j}=0=y_{j}a_{j}-b_{j}x_{j}
[/mm]
Kann man nun folgern?
Soweit komme ich noch. Aber ich muss es doch allgemein für alle w zeigen, kann ich dann einfach w so wählen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Setz doch mal fuer [mm]w[/mm] ein paar geschickt gewaehlte Vektoren
> > ein. So welche mit ganz vielen Nullen.
> >
> > LG Felix
> >
>
> Ok [mm]\overline{w}=(0,...,0,a_{j}-ib_{j},0,...,0).[/mm]
Warum nimmst du so einen komplizierten Vektor? Warum nicht einfach [mm] $a_j [/mm] = 1$, [mm] $b_j [/mm] = 0$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo!
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> > > Setz doch mal fuer [mm]w[/mm] ein paar geschickt gewaehlte Vektoren
> > > ein. So welche mit ganz vielen Nullen.
> > >
> > > LG Felix
> > >
> >
> > Ok [mm]\overline{w}=(0,...,0,a_{j}-ib_{j},0,...,0).[/mm]
>
> Warum nimmst du so einen komplizierten Vektor? Warum nicht
> einfach [mm]a_j = 1[/mm], [mm]b_j = 0[/mm]?
>
> LG Felix
>
Aber ich soll es doch für alle [mm] w\in \mathbb{C}^n [/mm] zeigen und nicht nur für so ein spezielles w.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > > Setz doch mal fuer [mm]w[/mm] ein paar geschickt gewaehlte Vektoren
> > > > ein. So welche mit ganz vielen Nullen.
> > > >
> > > > LG Felix
> > > >
> > >
> > > Ok [mm]\overline{w}=(0,...,0,a_{j}-ib_{j},0,...,0).[/mm]
> >
> > Warum nimmst du so einen komplizierten Vektor? Warum nicht
> > einfach [mm]a_j = 1[/mm], [mm]b_j = 0[/mm]?
>
> Aber ich soll es doch für alle [mm]w\in \mathbb{C}^n[/mm] zeigen
> und nicht nur für so ein spezielles w.
Was genau willst du zeigen? Doch nur dass $v = 0$ folgt. Dann ist es doch voellig egal ob du ganz allgemeine oder ganz spezielle $w$ einsetzt.
LG Felix
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