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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Di 31.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo,
Habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei f auf dem Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] stetig. Zu zeigen: [mm] \integral_{0}^{2\pi} {|f(x)|^2 dx} \ge \bruch{1}{\pi} \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] | [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {f(x)*sin nx [mm] dx}|^2
[/mm]
Was mir dazu einfällt: {sin nx } sind orthonormal
und es ist ein Skalarprodukt definiert: <f,g>= [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {f(x)*g(x) dx}. Könnte also die linke Seite schreiben als |<f,f>|
Aber irgendwie weiß ich nicht wie ich rechts anfangen soll.
Kann mir jemand helfen?
Gruß Marietta
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Hallo!
Die [mm] $\sin(nx)$ [/mm] sind nicht orthonormal, sondern nur orthogonal bzgl [mm] $\langle f,g\rangle:=\int_0^{2\pi} [/mm] f(x)g(x)dx$. Es gilt [mm] $\langle \sin(nx);\sin(mx)\rangle =\delta_{mn}*\bruch 1\pi$.
[/mm]
Wegen der Ungleichung: Hier hilft die ![[]](/images/popup.gif) Parsevalsche Ungleichung weiter...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 31.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo,
Kenne die Parsevalsche Ungleichung nicht. Finde jetzt unter dem Link nur etwas zu einer Parsevalschen Gleichung, nichts zu einer Ungleichung... Auch bei Google ist immer nur von Gleichung die Rede.
Kannst du mir etwas zu der Ungleichung sagen?
Gruß Marietta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo Stefan,
Danke für den Hinweis.
Gruß Marietta
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Hallo Stefan!
Wie kann man denn bitte begründen, dass
> [mm]\left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right)_{n \in \IN}[/mm]
ein ON-System ist?
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Hallo Solostaran,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie kann man denn bitte begründen, dass
>
> > [mm]\left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right)_{n \in \IN}[/mm]
>
> ein ON-System ist?
indem man das hier nachweist:
[mm]
\int\limits_{0}^{2\pi } {\frac{1}{{\sqrt \pi }}\;\sin \;nx} \;\frac{1}{{\sqrt \pi }}\;\sin \;mx\;dx\; = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
0 & {fuer\;m\; \ne \;n} \\
1 & {fuer\;m\; = \;n} \\
\end{array}}[/mm]
Gruß
MathePower
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