orthogonalität (aufgabe) < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mo 14.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Hallo liebes Forum:
Wir wiederholen derzeit in Mathe Vektoren. Einfachere Übungsaufgaben gingen leicht von der Hand. Nur jetzt soll ich 2 Geraden (g und h) auf Orthogonalität zueinander überprüfen.
Problem dabei dass ich 2 Unbekannte hab [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu
[/mm]
und ich weiss nicht ob ich was für die einsetzten darf oder nicht und erst recht nicht wie ich die Orhogonaliät überprüfe?
Muss ich nicht g und h gleichsetzten und für jeweils eine der Beiden unbekannten [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] etwas einsetzen:
Hier die Aufgabe:
g: vektor x = ( 2 / 1 / -1) + [mm] \lambda [/mm] * (-1 / 3 / 5)
h: vektor x = (2 /1 / -1) + [mm] \mu [/mm] * (7 / -1 / 2)
Hab leider im MatheBank-Link nicht die passende Klammer für Vektoren gefunden deswegen die umständliche Schreibweise...
Könnten ihr mir die Aufgabe als Beispiel vorrechnen und anhand daran erklären was zu tun ist? So verstehe ich es am besten und es folgen noch etliche Übungsaufgaben danach die ich nach euerm erklärtem Schema dann rechnen kann.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo liebes Forum:
>
> Wir wiederholen derzeit in Mathe Vektoren. Einfachere
> Übungsaufgaben gingen leicht von der Hand. Nur jetzt soll
> ich 2 Geraden (g und h) auf Orthogonalität zueinander
> überprüfen.
>
> Problem dabei dass ich 2 Unbekannte hab [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm]
> und ich weiss nicht ob ich was für die einsetzten darf
> oder nicht und erst recht nicht wie ich die Orhogonaliät
> überprüfe?
was stört Dich denn an den [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$'s? [/mm] Die wirst Du hier gar nicht brauchen 
> Muss ich nicht g und h gleichsetzten und für jeweils eine
> der Beiden unbekannten [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] etwas einsetzen:
>
damit erhieltest Du höchstens einen Schnittpunkt der Geraden. Abgesehen davon, dass ich mich nach dem Sinn frage:
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] können doch Geraden auch "senkrecht" aufeinander stehen, ohne sich zu schneiden.
Beispiel:
(I) $g: [mm] \vec{x}=\lambda*(1,0,0)$
[/mm]
(II) $h: [mm] \vec{x}=(1,1,1)+\mu*(0,1,0)$
[/mm]
> Hier die Aufgabe:
>
> g: vektor x = ( 2 / 1 / -1) + [mm]\lambda[/mm] * (-1 / 3 / 5)
>
> h: vektor x = (2 /1 / -1) + [mm]\mu[/mm] * (7 / -1 / 2)
>
> Hab leider im MatheBank-Link nicht die passende Klammer für
> Vektoren gefunden deswegen die umständliche
> Schreibweise...
klick' mal meine Formeln oben an. Ich gebe Dir einfach mal folgenden Tipp:
Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht aufeinander stehen. Du hast also oben zu prüfen, dass
$(-1, 3 , 5) [mm] \perp [/mm] (7 , -1 , 2)$
Das geht z.B. durch Nachrechnen, dass deren Skalarprodukt den Wert $=0$ hat, vgl. auch
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt
Und da Du ja ein Beispiel sehen wolltest, zeige ich mal, dass die Geraden bei (I) und (II) auch wirklich senkrecht zueinander stehen (für das Skalarprodukt zwischen [mm] $\vec{x}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}$ [/mm] schreibe ich [mm] $\vec{x} \star \vec{y}$):
[/mm]
[mm] $(1,0,0)\star(0,1,0)=1*0+0*1+0*0=0+0+0=0$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:24 Mo 14.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Ja wie die Überprüfung geht weiss ich doch auch PROBLEM ich hab jetzt ein Lamdbda und ein mu dazwischen.....
EDIT:
Also muss ich es einfach so machen wie mit den ganzen anderen Vektoren??
Ich hatte vorher aber immer nur 2 Vektoren zu vergleichen
( 1 / 3 / 4) und ( 2 / 3 / 5) so und dann orthogonal ja nein?
rechnung: 1*2 + 3*3 *+ 4*5
so aber jetzt habe ich pro gerade ja 2 !! vektoren PRO zu vergleichendem objekt und dazwischen ein lambda oder mu und ich muss doch was einsetzen um es zu lösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Mo 14.04.2008 | | Autor: | bliblub |
oder muss ich einfach beide vektoren , jeweils für g und für h ohne berücksichtigung auf das lambda und mu einfach vorerste ausrechnen und dann beide endergebnisse von h und g miteinander verrechnen nach der üblichen art und weise?
u1 *v1 + u2 *v2+ u3*v3
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 14.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Ich habe einfach wie es mir vorgeschlagen wurde lambda und mu nicht berücksichtigt und beide geraden erstmal für sich ausgerechnet.
Für die Beispielaufgabe kommt dann raus für
h: (14 / -1 / -2)
und für
g: ( -2 / 3 / -5)
lambda und mu jeweils 0 eingesetzt oder halt nicht berücksichtigt dann habe ich beide in gewohnter form ausgerechnet....
u1*v1 + u2*v2 +u3*v3
es kam -21 raus (nicht orthogonal?) so habe ich das jetzt verstanden ...
Ist das so falsch oder richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo, du hast den Richtungsvektor [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 5} [/mm] und [mm] \vektor{7 \\ -1 \\ 2}, [/mm] berechne jetzt [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 5}*\vektor{7 \\ -1 \\ 2}= [/mm] .... , somit Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo bliblub!
> Ja wie die Überprüfung geht weiss ich doch auch PROBLEM ich
> hab jetzt ein Lamdbda und ein mu dazwischen.....
>
> EDIT:
>
> Also muss ich es einfach so machen wie mit den ganzen
> anderen Vektoren??
> Ich hatte vorher aber immer nur 2 Vektoren zu vergleichen
>
> ( 1 / 3 / 4) und ( 2 / 3 / 5) so und dann orthogonal ja
> nein?
>
> rechnung: 1*2 + 3*3 *+ 4*5
>
> so aber jetzt habe ich pro gerade ja 2 !! vektoren PRO zu
> vergleichendem objekt und dazwischen ein lambda oder mu und
> ich muss doch was einsetzen um es zu lösen?
Ich glaube, du hast Marcels Antwort nicht richtig gelesen. Du musst nur überprüfen, ob die Richtungsvektoren senkrecht aufeinander stehen. Und was ist bei einer Geraden [mm] g:\vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+\lambda*\vektor{4\\5\\6} [/mm] der Richtungsvektor?
Du hast also pro Gerade nur einen einzigen Vektor, den du zur Überprüfung benötigst. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 14.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Jetzt erinnere ich mich noch dunkel ... jeweils ein vektor von den beiden gerade h und g sind wichtig und nur diese beiden muss ich miteinander verrechnen aber ich weiß nicht mehr welcher?
ich glaube es gab da richtungsvektor und aufvektor? oder so etwas in der art?
Ich kann mich nicht mehr erinnern welcher von beiden ist es jeweils die vektoren hinter und lambda und mu miteinander verrechnen oder die davor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jetzt erinnere ich mich noch dunkel ... jeweils ein vektor
> von den beiden gerade h und g sind wichtig und nur diese
> beiden muss ich miteinander verrechnen aber ich weiß nicht
> mehr welcher?
>
> ich glaube es gab da richtungsvektor und aufvektor? oder so
> etwas in der art?
>
> Ich kann mich nicht mehr erinnern welcher von beiden ist es
> jeweils die vektoren hinter und lambda und mu miteinander
> verrechnen oder die davor?
was willst Du Dich denn "erinnern"? Ich dachte, Du wüßtest, was eine Gerade im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist?
http://de.wikipedia.org/wiki/Geradengleichung
Ich schlage Dir vor, Du liest meine Antwort hier
https://matheraum.de/read?i=392609
nochmal durch. Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor
$(-1,3,5)$ und der Richtungsvektor von $h$ ist
$(7,-1,2)$.
Es ist zu prüfen, ob $(-1,3,5) [mm] \perp [/mm] (7,-1,2)$. Das heißt, Du sollst das Skalarprodukt
$(-1,3,5) [mm] \star [/mm] (7,-1,2)$
berechnen
(da solltest Du wissen, wie das geht:
[mm] $(x_1,x_2,x_3)\star(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$)
[/mm]
und zeigen, dass $0$ herauskommt.
Ansonsten:
Bitte lies' Dir in Deinem Buch nochmal alles bzgl. Geraden durch. Insbesondere, was es mit dem Aufpunkt und dem Richtungsvektor auf sich hat. Ich habe nicht das Gefühl, dass Du überhaupt die Parameterform einer Geraden verstanden hast, obwohl es eigentlich anschaulich die naheliegendste ist.
Vielleicht auch mal hier reingucken
http://de.wikibooks.org/wiki/MathGymOS/_Analytische_Geometrie/_Geraden_und_Ebenen/_Geraden
und nach ähnlichen Artikeln suchen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mo 14.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Tut mir Leid dass ich mich jetzt erst melde aber jetzt ist mir wieder alles wie Schuppen von den Augen gefallen. Ich danke euch für eure Hilfe.
|
|
|
|
