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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 19.07.2009 | | Autor: | aga88 |
| Aufgabe | Im reellen Vektorraum [mm] \IR^4 [/mm] seien die drei Vektoren
v1= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] , v2= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 3} [/mm] , v3= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 5 \\ 6} [/mm] gegeben; ferner sei U = [mm] \vektor{v1 \\ v2 \\ v3} [/mm] der von v1, v2, v3 aufgespannte Unterraum von [mm] \IR^4.
[/mm]
Man bestimme (bzgl. des Standardskalarprodukts auf [mm] \IR^4) [/mm] eine Orthonormalbasis für das orthogonale Komplement U senkrecht von U. |
So meine Frage hierzu lautet: Was mache ich nachdem ich D in [mm] D^T [/mm] gewandelt habe und die ZSF angewandt habe? Ich habe einen Lösungsvorschlag hierzu:
Damit wären [mm] w1=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] w2=\vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 1} [/mm] und sogleich eine Basis des orthgonalen Komplements U senkrecht von U= [mm] \vektor{v1 \\ v2 } [/mm] in [mm] \IR^4.
[/mm]
Mein Problem ist, dass ich nach dem ich die ZSF angewandet habe, nicht auf die Vektoren w1, w2 komme.
Kann mir jemand helfen? Ist wichtig schreibe nämlich eine Prüfung hierzu. Danke
Gruß
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> Im reellen Vektorraum [mm]\IR^4[/mm] seien die drei Vektoren
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> v1= [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm] , v2= [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> , v3= [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 5 \\ 6}[/mm] gegeben; ferner sei U =
> [mm]\vektor{v1 \\ v2 \\ v3}[/mm] der von v1, v2, v3 aufgespannte
> Unterraum von [mm]\IR^4.[/mm]
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> Man bestimme (bzgl. des Standardskalarprodukts auf [mm]\IR^4)[/mm]
> eine Orthonormalbasis für das orthogonale Komplement U
> senkrecht von U.
> So meine Frage hierzu lautet: Was mache ich nachdem ich D
> in [mm]D^T[/mm] gewandelt habe und die ZSF angewandt habe? Ich habe
> einen Lösungsvorschlag hierzu:
>
> Damit wären [mm]w1=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und
> [mm]w2=\vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 1}[/mm] und sogleich eine Basis des
> orthgonalen Komplements U senkrecht von U= [mm]\vektor{v1 \\ v2 }[/mm]
> in [mm]\IR^4.[/mm]
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> Mein Problem ist, dass ich nach dem ich die ZSF angewandet
> habe, nicht auf die Vektoren w1, w2 komme.
>
> Kann mir jemand helfen? Ist wichtig schreibe nämlich eine
> Prüfung hierzu. Danke
Hallo,
schade, das Du nicht Deine ZSF mitpostest.
Wenn ich die in Zeilen gelegten Vektoren in reduzierte (!) ZSF bringe, dann bekomme ich
1 2 0 0
0 0 1 1
Du suchst nun den Kern dieser Matrix.
Das geht so: In Gedanken die grünen Zeilen einschieben:
1 2 0 0
[mm] \green{0 -1\quad 0\quad 0}
[/mm]
0 0 1 1
[mm] \green{0\quad 0\quad 0 -1}
[/mm]
Die Spalten, in denen Du eine Diagonalminuseins hast, sind eine Basis des Kerns, also des orth. Komplements.
Gruß v. Angela
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