orthogonale matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:04 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Dschingis |
sei A= [mm] \pmat{1 & 2 \\ 3 & 4}. [/mm] Bestimmen sie die Eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2}
[/mm]
von A, und geben sie eine orthogonale Matrix T an mit [mm] T^{-1}AT. [/mm] (orthogonal bedeutet [mm] T^{-1} [/mm] = [mm] T^{t})
[/mm]
eigenwerte sind soweit klar, aber wie bestimmte ich die orthogonale Matrix??
da habe ich absolut keinen schimmer. please help, habe bald klausur
greetz dschingis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Mo 07.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
hier fehlt noch eine Kleinigkeit:
> und geben sie eine orthogonale Matrix T an mit
> [mm]T^{-1}AT.[/mm]
mit was? was soll das ergebnis sein wenn man diese Multiplikation ausgeführt hat?
zufällig eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen?
Dann ist die neue Basis natürlich eine Basis aus Eigenvektoren und dein T ist die Basistransformation davon
[die sollte orthogonal sein, denn Eigenvektoren stehen zueinander orthogonal - hab ich jetzt aber nicht überprüft].
Also: schreib doch bitte noch, was da fehlt.
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Ja genau eine matix mit den eigenwerten in der diagonalen und sonst null.
du sagst über die eigenvektoren? und was dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 07.02.2005 | | Autor: | laucky |
Hallo!
1. Eigenvektoren herausfinden. Also setze R:=(Matrix - Eigenwert*Einheitsm.)) = Null. Nach Umformungen von R in eine Zeilenstufenform erhält man (habs nicht gerechnet) sowas ÄHNLICHES wie
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Jedenfalls mindestens eine Nullzeile.
Das setzt man jetzt Null, also
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] *v_eigen = 0
Das muss man wie ein lineares Gleichungssystem behandeln.
d.h. Wähle [mm] v_2 [/mm] beliebig, z.B. [mm] v_2=1 [/mm] und dann haben wir die Gleichung
[mm] 1*v_1+2*v_2=0 [/mm] d.h. [mm] v_1=- \bruch{1}{2}.
[/mm]
Das Selbe mache man mit dem anderen Eigenwert. Damit erhalten wir die Eigenvektoren v und w.
Auf die muss man dann das Schmidt'sche Orthonormalisierungsverfahren loslassen, d.h. normiere v so, dass ||v||=1, d.h. in meinem Beispiel
v'=v''= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{1+ \bruch{1}{4}}}*v
[/mm]
[ v' = [mm] 1/wurzel(1+(1/2)^2) [/mm] *v ]
und dann w' = w - <v'',w> * w
Und w' muss man dann normieren, dass ||w'||=1 wie oben.
also w'' = Skalar * w'
Das ganze führt man übrigens bei höheren Matrizen so fort, d.h.
bei nem dritten Vektor (der hier nicht vorkommt) Namens f macht man
f' = f - <f,v''> * f - <f,w''>*f
f''=q*f' so dass ||f''||=1
Dann schreibt man die Vektoren v' und w'' nebeneinander hin, macht links und rechts ne Klammer und hat sofort T dastehen, so dass des funzt.
z.B T= [mm] \pmat{ v''1 & w''1 \\ v''2 & w''2 }
[/mm]
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