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| Aufgabe | Zeigen sie:
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V : [mm] \parallel [/mm] Au [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel \gdw \forall [/mm] u,w [mm] \in [/mm] V gilt <Au,Aw> = <u,w>
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Hallo ihr.
Wie soll ich das beweisen?Kann mir da evtl jemand einen Tip geben?
Oder geht es einfach so?
Wir wissen: [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V : [mm] \parallel [/mm] Au [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{} [/mm]
Also gilt: [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{} [/mm] => <Au,Au> = <u,u> [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V
Also gilt auch: <Au,Aw>=<u,w>
Stimmt das dann so?
Lg Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Di 21.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sandra,
> Zeigen sie:
> [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V : [mm]\parallel[/mm] Au [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] u
> [mm]\parallel \gdw \forall[/mm] u,w [mm]\in[/mm] V gilt <Au,Aw> = <u,w>
>
> Hallo ihr.
>
> Wie soll ich das beweisen?Kann mir da evtl jemand einen Tip
> geben?
>
> Oder geht es einfach so?
>
> Wir wissen: [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V : [mm]\parallel[/mm] Au [mm]\parallel[/mm] =
> [mm]\wurzel{}[/mm] = [mm]\wurzel{}[/mm]
>
> Also gilt: [mm]\wurzel{}[/mm] = [mm]\wurzel{}[/mm] => [mm] = \forall u \in V [/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also gilt auch: <Au,Aw>=<u,w>
Nein, das ist die falsche Richtung. Du schließt vom Speziellen aufs Allgemeine. Andersherum würde ein Schuh daraus.
Der Ansatz [mm]\left = \left[/mm] ist ganz gut.
Tipp: Betrachte mal: [mm]\left= \left[/mm] und nutze Linearität und Symmetrie des Skalarprodukts aus.
Viele Grüße
Rainer
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Danke für den Tip, ich denke ich habe die Antwort:
<Au+Aw,Au+Aw>=<A(u+w),A(u+w)> = <u+w,u+w> = < u,u> +<u,w>+<w,u>+<w,w>
<Au+Aw,Au+Aw> = <Au,Au> + <Au,Aw> + <Aw,Au> + <Aw,Aw>
Also ist dann: <u,u> +<u,w>+<w,u>+<w,w> = <Au,Au> + <Au,Aw> + <Aw,Au> + <Aw,Aw>
Wir wissen das <Au,Au> = ><u,u> für alle u in V
Also gilt: <u,u> - <Au,Au> +<w,w>- <Aw,Aw> =0
=>
<w,u>+<w,w> =<Au,Aw> + <Aw,Au> => 2<u,w>=2<Au,Aw> und daraus folgt die Behauptung;)
Stimmt das dann so?
Lg sandra
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mi 22.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sandra,
ja, so habe ich das gemeint, damit hast du die Richtung
[mm] \forall u \in V : \| Au \| = \| u \| \Rightarrow \forall u,w \in V : = [/mm]
gezeigt.
Die andere Richtung ist einfach, denn aus [mm] = \forall u,w \in V[/mm] folgt [mm]= \forall u \in V[/mm] und damit auch [mm]\| Au \| = \| u \| \forall u \in V [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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