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Forum "Uni-Lineare Algebra" - orthogonale Matrizen
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orthogonale Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Di 21.08.2007
Autor: pusteblume86

Aufgabe
Zeigen sie:
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm]  V : [mm] \parallel [/mm] Au [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel \gdw \forall [/mm] u,w [mm] \in [/mm]  V gilt <Au,Aw> = <u,w>

Hallo ihr.

Wie soll ich das beweisen?Kann mir da evtl jemand einen Tip geben?

Oder geht es einfach so?

Wir wissen: [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V :  [mm] \parallel [/mm] Au [mm] \parallel [/mm]  = [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{} [/mm]

Also gilt: [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{} [/mm] => <Au,Au> = <u,u> [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V
Also gilt auch:  <Au,Aw>=<u,w>

Stimmt das dann so?
Lg Sandra

        
Bezug
orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Di 21.08.2007
Autor: rainerS

Hallo Sandra,

> Zeigen sie:
>   [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm]  V : [mm]\parallel[/mm] Au [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] u
> [mm]\parallel \gdw \forall[/mm] u,w [mm]\in[/mm]  V gilt <Au,Aw> = <u,w>
>  
> Hallo ihr.
>  
> Wie soll ich das beweisen?Kann mir da evtl jemand einen Tip
> geben?
>  
> Oder geht es einfach so?
>  
> Wir wissen: [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V :  [mm]\parallel[/mm] Au [mm]\parallel[/mm]  =
> [mm]\wurzel{}[/mm] = [mm]\wurzel{}[/mm]
>
> Also gilt: [mm]\wurzel{}[/mm] = [mm]\wurzel{}[/mm] => [mm] = \forall u \in V [/mm].

[ok]

>  Also gilt auch:  <Au,Aw>=<u,w>

Nein, das ist die falsche Richtung. Du schließt vom Speziellen aufs Allgemeine. Andersherum würde ein Schuh daraus.

Der Ansatz [mm]\left = \left[/mm] ist ganz gut.

Tipp: Betrachte mal: [mm]\left= \left[/mm] und nutze Linearität und Symmetrie des Skalarprodukts aus.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
orthogonale Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Mi 22.08.2007
Autor: pusteblume86

Danke für den Tip, ich denke ich habe die Antwort:

<Au+Aw,Au+Aw>=<A(u+w),A(u+w)> = <u+w,u+w> = < u,u> +<u,w>+<w,u>+<w,w>
<Au+Aw,Au+Aw> = <Au,Au> + <Au,Aw> + <Aw,Au> + <Aw,Aw>

Also ist dann:  <u,u> +<u,w>+<w,u>+<w,w> = <Au,Au> + <Au,Aw> + <Aw,Au> + <Aw,Aw>

Wir wissen das <Au,Au> = ><u,u> für alle u in V

Also gilt: <u,u> - <Au,Au> +<w,w>- <Aw,Aw> =0
=>
<w,u>+<w,w> =<Au,Aw> + <Aw,Au>  => 2<u,w>=2<Au,Aw> und daraus folgt die Behauptung;)


Stimmt das dann so?

Lg sandra

Bezug
                        
Bezug
orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Mi 22.08.2007
Autor: rainerS

Hallo Sandra,

ja, so habe ich das gemeint, damit hast du die Richtung
[mm] \forall u \in V : \| Au \| = \| u \| \Rightarrow \forall u,w \in V : = [/mm]
gezeigt.
Die andere Richtung ist einfach, denn aus [mm] = \forall u,w \in V[/mm] folgt [mm]= \forall u \in V[/mm] und damit auch [mm]\| Au \| = \| u \| \forall u \in V [/mm].

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
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