(orthogonale) Matrizen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:45 Do 22.06.2006 | | Autor: | epsilon1 |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in C(\IR, \IR^{n x n}), [/mm] wobei [mm] \IR^{n x n} [/mm] den Raum aller reellen n x n-Matrizen bezeichne. Für jedes t [mm] \in \IR [/mm] sei A(t) eine orthohonale Matrix, d.h. Transponierte (A(t)) * A(t) = I (Einheitsmatrix). Ferner sei A(0) = I. Zeigen Sie:
(i) det A(t) = 1 (für alle t [mm] \in \IR)
[/mm]
(ii) Ist A differenzierbar, so ist S := (dA/dt)(0) schiefsymmetrisch, d.h. Transpornierte von S = -S |
Hallo.
Leider habe ich zu dieser Aufgabe keine Idee.
Mir ist auch nicht klar, wie ich da anfangen soll. Kann ich Matrizen dividierem? umd zu schauen, wie exakt A(t) auszusehen hat, damit sie eine ortogonale Matrix ist?
Hat vielleicht jemand ein paar Tipps für mich?
Viele Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo epsilon1,
Ein paar Ansätze dazu:
> (i) det A(t) = 1 (für alle t [mm]\in \IR)[/mm]
Schlüssel zum Erfolg ist sicherlich die Gleichung
[mm] A^T(t)A(t)=I
[/mm]
Hier kann man sich ja mal die Rechenregeln für Determinanten raussuchen( zu Produkt und Transponierter Matrix). Zusätzlich braucht man sicher das A(t) stetig ist( und somit auch det(A(t)))
> (ii) Ist A
> differenzierbar, so ist S := (dA/dt)(0) schiefsymmetrisch,
> d.h. Transpornierte von S = -S
[mm] A^T(t)A(t)=I [/mm] mal ableiten?
> Hallo.
> Leider habe ich zu dieser Aufgabe keine Idee.
> Mir ist auch nicht klar, wie ich da anfangen soll. Kann
> ich Matrizen dividierem? umd zu schauen, wie exakt A(t)
> auszusehen hat, damit sie eine ortogonale Matrix ist?
Die Bedingung für orthogonale Matrizen ist schon gegeben [mm] A^T(t)A(t)=I [/mm] Die kann zwar umformuliert werden aber nicht wesentlich vereinfacht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Do 22.06.2006 | | Autor: | epsilon1 |
Hallo.
Mir war eigentlich auch schon klar, dass ich die angegebene Gleichung benutzen soll. Aber mir ist noch nicht klar WIE.
Denn es müsste ja gelten:
A(t) = I : [mm] A^T [/mm] (t)
Aber das kann ich doch gar nicht berechenen.
Und wieso muss ich benutzen, dass die Matrix A stetig ist?
Bitte unterstütze mich. Ich würde das nämlich gerne verstehen.
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Hallo epsilon1,
> Mir war eigentlich auch schon klar, dass ich die angegebene
> Gleichung benutzen soll. Aber mir ist noch nicht klar WIE.
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> Denn es müsste ja gelten:
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> A(t) = I : [mm]A^T[/mm] (t)
>
> Aber das kann ich doch gar nicht berechenen.
Division kennt man bei Matrizen nicht. Man multipliziert mit der Inversen. Allein schon deshalb da man bei Multiplikation von Matrizen die Reihenfolge beachten muß und sonst durcheinander kommen würde.
Es spricht doch nichts dagegen auf beiden Seiten deiner Gleichung mal die Determinante auszurechnen. Die muß ja dann auch Gleich sein wenn die Gleichung stimmt. Danach mußt Du Dir für die "rechte Seite" überlegen welchen Wert die Determinante der Einheitsmatrix hat. Für die "linke Seite" nochmal die ![[]](/images/popup.gif) Rechenregeln für Determinanten nachschlagen.
> Und wieso muss ich benutzen, dass die Matrix A stetig ist?
A ist ja eine Funktion auf den reellen Zahlen in den Raum der nxn Matrizen klar?
Die Aussage ist i.A. falsch wenn A(t) nicht stetig ist.
So wäre z.B. [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] auch orthogonal (nachrechnen ) aber die Determinante wäre...
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 22.06.2006 | | Autor: | epsilon1 |
Ich muss jetzt nochmal etwas fragen.
Also die Determinante der Einheitsmatrix ist trivialerweise 1. Nun ist die Frage, was kann ich daraus schliessen für [mm] A^T [/mm] (t) und A(t)??
Mir ist dieser Schluss nicht klar. Wie soll ich denn auch deren Determinanten berechnen. Ich kenne doch gar nicht die Gestalt dieser Matrizen.
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Hallo epsilon1,
> Also die Determinante der Einheitsmatrix ist trivialerweise
> 1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun ist die Frage, was kann ich daraus schliessen für
> [mm]A^T[/mm] (t) und A(t)??
Es steht jetzt also da
[mm] det(A^T(t)*A(t))=1 [/mm] ja?
Um die Linke Seite zu vereinfachen solltest Du die Rechenregeln für Determinanten benutzen. Dafür muß man die Matrix nicht kennen. In der von mir verlinkten Seite ist ganz allgemein von Matrizen A,B, die Rede.
> Mir ist dieser Schluss nicht klar. Wie soll ich denn auch
> deren Determinanten berechnen. Ich kenne doch gar nicht die
> Gestalt dieser Matrizen.
Brauchst Du auch nicht.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Do 22.06.2006 | | Autor: | epsilon1 |
Hi.
Da gilt [mm] det(A^T [/mm] (t) * A(t)) = 1. Muss nach den Rechenregeln für Determinanten gilt zunächst [mm] det(A^T [/mm] (t)) * det(A(t)) = 1. Weiter gilt [mm] det(A^T [/mm] (t)) = det(A(t)) und somit folgt dann det(A(t)) = 1, da die oben genannte Gleichung gelten muss.
und wie sieht es aus mit Teil (b)??
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Hallo epsilon1,
> Da gilt [mm]det(A^T[/mm] (t) * A(t)) = 1. Muss nach den Rechenregeln
> für Determinanten gilt zunächst [mm]det(A^T[/mm] (t)) * det(A(t)) =
> 1. Weiter gilt [mm]det(A^T[/mm] (t)) = det(A(t)) und somit folgt
> dann det(A(t)) = 1, da die oben genannte Gleichung gelten
> muss.
nicht ganz [mm] det(A(t))^2=1\Rightarrow [/mm] det(A(t))= [mm] \pm [/mm] 1
Für b)
Solltest Du die Gleichung mal ableiten. Produktregel gilt auch für Matrizen. Kannst Du ja mal in Deiner Mitschrift nachschauen( auf die schnelle hab ich keinen link dazu)
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 22.06.2006 | | Autor: | epsilon1 |
Dann ist doch aber die Behauptung aus meiner Aufgabe falsch. Dort steht doch nur das gelten soll det(A(t)) = 1. Nun kann nach deiner Anmerkung aber auch gelten det(A(t)) = -1. Somit ist die Behauptung falsch.
Oder sehe ich das jetzt falsch?
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Hallo epsilon,
> Dann ist doch aber die Behauptung aus meiner Aufgabe
> falsch. Dort steht doch nur das gelten soll det(A(t)) = 1.
> Nun kann nach deiner Anmerkung aber auch gelten det(A(t)) =
> -1. Somit ist die Behauptung falsch.
i.A. ja wenn da nichts von "A(t) ist stetig" in Deiner Aufgabenstellung steht würde ich das auch so schreiben. Dafür mußt Du Dir nur ein Gegenbsp. ausdenken. Das hatte ich doch irgenwie schon vorgegeben oder? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Do 22.06.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo zusammen,
wenn ich mich kurz einmischen darf: es ist ja [mm] $A\in C(\IR,\IR^{n\times n})$ [/mm] , also stetig, vorausgesetzt.
schon wieder weg....
Gruß
Matthias
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Hallo Matthias,
![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") oder besser [Dateianhang nicht öffentlich]
@eps A(t) ist also stetig somit auch detA(t)) außerdem weiß man das det(A(t))= [mm] \pm [/mm] 1 und det(A(0))=...
Kannst Du das zusammenbasteln?
gruß
Christian
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Habe ich das den nicht schon quasi richtig aufgeschrieben?
Wäre super falls nicht, dass du mir das sonst mal formal notieren könntest.
Vielen Dank.
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Hallo.
Ich kriege irgendwie das A nicht differenziert. Könnte mir somit jemand noch mal ein wenig formal weiterhelfen bei dem Aufgabenteil (ii).
Das wäre echt super, wenn sich jemand dafür bereit erklären würde.
Danke schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 23.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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