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| Aufgabe | Sei $A$ eine orthogonale [mm] $(n\times [/mm] n)-Matrix.$
Zeigen Sie:
(i) Ist $n$ ungerade, so besitzt $A$ einen Eigenektor.
(ii) Ist $n=4,$ so braucht $A$ keinen Eigenvektor zu [mm] besitzen.\\ [/mm] |
Hallo,
als Tipp ist angegeben, man soll den Hauptsatz über orthogonale Endomorphismen
benutzen. Soweit ich weiß, gibt es eine orthogonale Matrix $P$ mit
[mm] $P^{t}AP=D,$ [/mm] wobei $D$ eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen
$-1$ oder 1 ist.
Jetzt weiß ich noch, dass ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische
Polynom haben und das gleiche Minimalpolynom. Daraus muss sich mindestens
ein Eigenwert ergeben, dann habe ich einen Eigenvektor. Ich weiß aber
nicht genau, wie ich das weiter zeige.
Das gleiche gilt dann für $(ii).$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Fr 24.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]A[/mm] eine orthogonale [mm](n\times n)-Matrix.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> (i) Ist [mm]n[/mm] ungerade, so besitzt [mm]A[/mm] einen Eigenektor.
>
> (ii) Ist [mm]n=4,[/mm] so braucht [mm]A[/mm] keinen Eigenvektor zu
> [mm]besitzen.\\[/mm]
>
> Hallo,
>
> als Tipp ist angegeben, man soll den Hauptsatz über
> orthogonale Endomorphismen
> benutzen. Soweit ich weiß, gibt es eine orthogonale
> Matrix [mm]P[/mm] mit
> [mm]P^{t}AP=D,[/mm] wobei [mm]D[/mm] eine Diagonalmatrix mit den
> Diagonaleinträgen
> [mm]-1[/mm] oder 1 ist.
Nein: in dem Fall waer ja jede orthogonale Matrix diagonalisierbar!
Fangen wir mal bei (i) an. Das charakteristische Polynom der Matrix hat ungeraden Grad. Kannst du damit eine Nullstelle zaubern? (Such dir einen passenden Satz aus der Analysis I.)
Nun zu (ii). Kennst du eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix, die orthogonal ist und keinen Eigenwert besitzt ueber [mm] $\IR$? [/mm] Setz doch zwei davon zusammen zu einer Blockdiagonalmatrix.
LG Felix
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