oo viele Primz.: Bauart 4k+1 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:45 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
Behauptung: Es gibt [mm] $\infty$ [/mm] viele Primzahlen der Bauart 4k+1. |
Ich glaube, ich hatte eine ähnliche Frage oder diese Frage als Teilfrage einer
anderen Frage hier schonmal gestellt, finde diese aber gerade nicht mehr.
Daher nochmal ein neuer Beweisversuch, bei dem ich aber hängenbleibe:
Wir wissen nach Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss.
Wir nehmen nun an, dass die aufsteigend sortierten Primzahlen [mm] $p_1, p_2, [/mm] ...$ heißen,
und die endlich vielen Primzahlen [mm] $q_1,...,q_N$ [/mm] der Form [mm] $4k+1\,$ [/mm] seien auch
aufsteigend sortiert.
Sei nun [mm] $n\,$ [/mm] so groß dass [mm] $\{q_1,...,q_N\} \subseteq \{p_1,...,p_n\}\,.$ [/mm] Wir setzen
[mm] $X:=1+4*\prod_{k=1}^n {p_k}^2$
[/mm]
Wegen $X > [mm] q_N$ [/mm] kann [mm] $X\,$ [/mm] keine Primzahl der Form $4k+1$ sein. Also hat [mm] $X\,$ [/mm] einen
kleinsten (Prim-)Teiler. Wegen $X [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod q_j$ [/mm] für $j=1,...,N$ kann der kleinste
Primteiler - nennen wir ihn [mm] $m\,$ [/mm] - nicht von der Form $4k+1$ sein. Also hat [mm] $m\,$
[/mm]
die Form [mm] $4k-1\,.$
[/mm]
Klar ist auch: $m [mm] \in \IP \setminus \{p_1,...,p_n\}$ [/mm] wegen $X [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod p_j$ [/mm] für $j=1,...,n$.
Soweit, so gut: Allerdings sehe ich nun nicht, wie ich damit zum Ziel komme.
Jemand anderes vielleicht? Oder habe ich die Idee des Ansatzes falsch
verstanden?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Sa 25.04.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
ich kenne den Beweis so, dass man folgende beiden Sätze kombiniert:
1.(Fermat)
Für eine ungerade Primzahl p sind folgende Aussagen gleichwertig:
- Die diophantische Gleichung [mm] x^2 +y^2 [/mm] = p besitzt eine Lösung (x,y) [mm] \in \IZ^{2}
[/mm]
- Das Polynom f = [mm] t^2 [/mm] + 1 [mm] \in \IZ_{p}[/mm] [t] hat eine Nullstelle in [mm] \IZ_{p}
[/mm]
- p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4
2. Ist f [mm] \in \IZ[/mm] [t] ein nicht-konstantes Polynom, dann gibt es unendlich viele Primzahlen p, sodass die Reduktion [mm] f_{p} \in \IZ_{p}[/mm] [t] von f modulo p eine Nullstelle in [mm] \IZ_{p} [/mm] hat.
Aus 2. folgt dann, dass es unendlich viele Primzahlen p gibt, sodass die Reduktion von [mm] t^{2} [/mm] +1 mod p eine Nullstelle in [mm] \IZ_{p} [/mm] hat. Damit folgt aus 1., dass es unendlich viele Primzahlen p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 gibt
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich kenne den Beweis so, dass man folgende beiden Sätze
> kombiniert:
> 1.(Fermat)
> Für eine ungerade Primzahl p sind folgende Aussagen
> gleichwertig:
> - Die diophantische Gleichung [mm]x^2 +y^2[/mm] = p besitzt eine
> Lösung (x,y) [mm]\in \IZ^{2}[/mm]
> - Das Polynom f = [mm]t^2[/mm] + 1 [mm]\in \IZ_{p}[/mm]
> [t]hat eine Nullstelle in [mm]\IZ_{p}[/mm]
> - p [mm]\equiv[/mm] 1 mod 4
>
> 2. Ist f [mm]\in \IZ[/mm] [t]ein nicht-konstantes Polynom, dann gibt es unendlich viele Primzahlen p, sodass die Reduktion [mm]f_{p} \in \IZ_{p}[/mm] [t]von f modulo p eine Nullstelle in [mm]\IZ_{p}[/mm] hat.
>
> Aus 2. folgt dann, dass es unendlich viele Primzahlen p gibt, sodass die Reduktion von [mm]t^{2}[/mm] +1 mod p eine Nullstelle in [mm]\IZ_{p}[/mm] hat. Damit folgt aus 1., dass es unendlich viele Primzahlen p [mm]\equiv[/mm] 1 mod 4 gibt
Danke. Aber die Aussage steht hier in dem Buch auf der 3en Seite, und
da gibt es nicht viel mehr als den elementaren Beweis dazu, dass es
unendlich viele Primzahlen gibt. Als Hinweis steht noch dabei:
Man betrachte [mm] $P=4\prod p_j^2+1$, [/mm] wobei [mm] $p_j$ [/mm] alle ungeraden Primzahlen
der Form 4k+1 durchläuft.
Ich mache es zwar ein wenig anders, aber ich denke, dass ich damit auch
zum Ziel kommen müsste. Gegebenfalls darf man mich aber auch eines
besseren belehren, indem man wenigstens zeigt, wie der Tipp sonst zum
Ziel führt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 27.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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