offener Kern bzw. abg. Hülle < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:08 Sa 19.04.2014 | | Autor: | knowhow |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe | Zeige für A,B [mm] \subset \IR^{n}:
[/mm]
i) [mm] \overline{A \cup B }= \overline{A}\cup \overline{B}, [/mm] ii) (A [mm] \cap B)^{\circ}=A^{\circ} \cap B^{\circ}.
[/mm]
Geben Sie Mengen A,B [mm] \subset \IR [/mm] an, für die
[mm] \overline{A \cap B } \not= \overline{A}\cap \overline{B} [/mm] , (A [mm] \cup B)^{\circ}\not=A^{\circ} \cup B^{\circ} [/mm] |
könnt ihr mal ein blick drauf werfen, ob ich die aufgabe richtig gezeigt habe bzw. verstanden habe, wäre nett.
meine Idee zu teil 1:
i) z.z a) [mm] \overline{A \cup B } \subset \overline{A}\cup \overline{B}
[/mm]
b) [mm] \overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B }
[/mm]
zu a) Sei a [mm] \in \overline{A \cup B } \Rightarrow [/mm] a [mm] \in \overline{A} [/mm] oder a [mm] \in \overline{B} \Rightarrow [/mm] a [mm] \in \overline{A} \cup \overline{B} [/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{A \cup B } \subset \overline{A}\cup \overline{B}
[/mm]
zu b) [mm] \overline{A \cup B}= \bigcap_{Y abg., A,B \subseteq A \cupB \subset Y }^{}Y [/mm] , [mm] \overline{A} \cup \overline{B}= (\bigcap_{Y abg. , A \subset Y}^{}Y) \cup (\bigcap_{U abg., B \subset U }^{}U)
[/mm]
Es gilt A,B [mm] \subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \Rightarrow \overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{A \cup B }= \overline{A}\cup \overline{B}
[/mm]
ii) z.z. a) (A [mm] \cap B)^{\circ} \subset A^{\circ} \cap B^{\circ}
[/mm]
b) [mm] A^{\circ} \cap B^{\circ} \subset [/mm] (A [mm] \cap B)^{\circ}
[/mm]
zu a) Sei a [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap B)^{\circ} [/mm] dann gilt a [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \backslash \partial [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) und a [mm] \not\in \partial [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) , d.h. a [mm] \in [/mm] A und a [mm] \in [/mm] B. Da a [mm] \not\in \partial(A \cap [/mm] B), ist A und B offen [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in A^{\circ} [/mm] und a [mm] \in B^{\circ} \Rightarrow [/mm] a [mm] \in A^{\circ} \cap B^{\circ}
[/mm]
zu b) sei a [mm] \in A^{\circ} \cap B^{\circ} \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash \partial [/mm] A und a [mm] \in [/mm] B [mm] \backslash \partial [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup B)^{\circ}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap B)^{\circ}=A^{\circ} \cap B^{\circ}
[/mm]
Ist es so richtig? Könnt ihr mir einen Tipp zum 2. teil geben stehe total auf dem schlauch. danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 24.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
