offene Überdeckung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Di 31.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man zeige mit der Überdeckungseigenschaft (!), dass die Menge [mm] M_{1}=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \cup \{0\} \subset \IR [/mm] kompakt ist, die Menge [mm] M_{2}:=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \subset \IR [/mm] jedoch nicht. Wie sieht man viel leichter ein,dass [mm] M_{2} [/mm] nicht beschränkt ist? |
Guten Tag,
Ich habe mir Folgendes zu dieser Aufgabe überlegt:
Nach dem Satz von Borel-Lebesgue gilt: [mm] M_{i} [/mm] ist genau dann kompakt, falls jede offene Überdeckung [mm] \{U_{i}\} [/mm] von X eine endliche Teilüberdeckung hat, i=1,2.
Zu [mm] M_{2}: [/mm] Ich hab jetzt einfach mal [mm] U_{i}=\{\bruch{1}{i}\} [/mm] gewählt, wobei ich mir nicht ganz sicher ob ich das darf. Aber wenn ja, dann ist [mm] M_{2}=U_{1} \cup U_{2} \cup U_{3}... [/mm] So, und wenn ich auch nur einen dieser [mm] U_{i} [/mm] weglasse, erhalte ich nicht mehr [mm] M_{2}, [/mm] da ja in [mm] M_{2} [/mm] alle n [mm] \in [/mm] N quasi "dabei sind".
Zu [mm] M_{1}: [/mm] Ich hab hier einige [mm] U_{i}'s [/mm] ausprobiert. Unzwar [mm] U_{i}=(\bruch{1}{i},1-\bruch{1}{i}). [/mm] Hier habe ich aber keine endliche Teilüberdeckung von [mm] M_{1} [/mm] gefunden, also kann das auch keine offene Überdeckung sein. Dann habe ich noch [mm] U_{i}=(1,1-\bruch{1}{i}) [/mm] und [mm] U_{i}=(\bruch{1}{i},1-\bruch{2}{i}) [/mm] ausprobiert. Bei letzterem habe ich mir gedacht, dass ich [mm] U_{2}=(1,\bruch{1}{2}) [/mm] weglassen könnte, da das schon in [mm] U_{1} [/mm] enthalten ist und hätte trotzdem die Menge [mm] M_{1} [/mm] als Vereinigung der restlichen [mm] U_{i}.
[/mm]
Aber ich weiß nicht, ob man das so machen kann und ob damit gezeigt ist, dass jede! offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat, denn ich hab ja eine bestimmte offene Überdeckung gewählt.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 31.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man zeige mit der Überdeckungseigenschaft (!), dass die
> Menge [mm]M_{1}=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \cup \{0\} \subset \IR[/mm]
> kompakt ist, die Menge [mm]M_{2}:=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \subset \IR[/mm]
> jedoch nicht. Wie sieht man viel leichter ein,dass [mm]M_{2}[/mm]
> nicht beschränkt ist?
> Guten Tag,
>
> Ich habe mir Folgendes zu dieser Aufgabe überlegt:
>
> Nach dem Satz von Borel-Lebesgue gilt: [mm]M_{i}[/mm] ist genau dann
> kompakt, falls jede offene Überdeckung [mm]\{U_{i}\}[/mm] von X
> eine endliche Teilüberdeckung hat, i=1,2.
>
> Zu [mm]M_{2}:[/mm] Ich hab jetzt einfach mal [mm]U_{i}=\{\bruch{1}{i}\}[/mm]
> gewählt, wobei ich mir nicht ganz sicher ob ich das darf.
> Aber wenn ja, dann ist [mm]M_{2}=U_{1} \cup U_{2} \cup U_{3}...[/mm]
> So, und wenn ich auch nur einen dieser [mm]U_{i}[/mm] weglasse,
> erhalte ich nicht mehr [mm]M_{2},[/mm] da ja in [mm]M_{2}[/mm] alle n [mm]\in[/mm] N
> quasi "dabei sind".
Das funktioniert so nicht, dass die [mm] $U_{i}=\{\bruch{1}{i}\}$ [/mm] sind nicht offen. Offen heist doch, dass zu jedem Punkt [mm] $x_i\in U_i$ [/mm] auch eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_i$ [/mm] zu [mm] $U_i$ [/mm] gehört.
Fang doch mal mit solchen [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] der Punkte [mm] $\bruch{1}{i}$ [/mm] an, und wähle für jedes i ein anderes [mm] $\varepsilon_i$ [/mm] gerade so, dass du immer alle diese Umgebungen für deine Überdeckung brauchst, also das Herausnehmen einer Menge dazu führt, dass [mm] $M_2$ [/mm] nicht mehr überdeckt wird.
> Zu [mm]M_{1}:[/mm] Ich hab hier einige [mm]U_{i}'s[/mm] ausprobiert. Unzwar
> [mm]U_{i}=(\bruch{1}{i},1-\bruch{1}{i}).[/mm] Hier habe ich aber
> keine endliche Teilüberdeckung von [mm]M_{1}[/mm] gefunden, also
> kann das auch keine offene Überdeckung sein. Dann habe ich
> noch [mm]U_{i}=(1,1-\bruch{1}{i})[/mm] und
> [mm]U_{i}=(\bruch{1}{i},1-\bruch{2}{i})[/mm] ausprobiert. Bei
> letzterem habe ich mir gedacht, dass ich
> [mm]U_{2}=(1,\bruch{1}{2})[/mm] weglassen könnte, da das schon in
> [mm]U_{1}[/mm] enthalten ist und hätte trotzdem die Menge [mm]M_{1}[/mm] als
> Vereinigung der restlichen [mm]U_{i}.[/mm]
>
> Aber ich weiß nicht, ob man das so machen kann und ob
> damit gezeigt ist, dass jede! offene Überdeckung eine
> endliche Teilüberdeckung hat, denn ich hab ja eine
> bestimmte offene Überdeckung gewählt.
Richtig. Du musst es für jede offene Übedeckung zeigen.
Wenn du oben für [mm] $M_2$ [/mm] ein Gegenbeispiel gefunden hast, dann solltest du dir überlegen, warum dieses Gegenbeispiel für [mm] $M_1$ [/mm] nicht funktioniert. Offensichtlich hat es mit dem Punkt 0 zu tun.
Tipp: Eines der [mm] $U_i$ [/mm] muss den Punkt 0 enthalten. Was folgt daraus, dass dieses [mm] $U_i$ [/mm] als offene Menge eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von 0 enthält?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo rainerS
> Fang doch mal mit solchen [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebungen der Punkte
> [mm]\bruch{1}{i}[/mm] an, und wähle für jedes i ein anderes
> [mm]\varepsilon_i[/mm] gerade so, dass du immer alle diese
> Umgebungen für deine Überdeckung brauchst, also das
> Herausnehmen einer Menge dazu führt, dass [mm]M_2[/mm] nicht mehr
> überdeckt wird.
Ok. Ich habe mir das an einem Beispiel überlegt. Nehmen wir den Punkt [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Dann ist der Abstand von [mm] \bruch{1}{3} [/mm] zu [mm] \bruch{1}{2} d=\bruch{1}{6}. [/mm] Diesen Abstand habe ich durch 2 geteilt, damit die eine Hälfte in die [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und die andere in die [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] rein kann quasi. Und so würde ich jede andere andere [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] wählen.
Aber was ich nicht ganz verhsteh: Wenn ich eine Menge habe die den Punkt [mm] \bruch{1}{i} [/mm] und zusätzlich eine Epsilon-Umgebung dieses Punktes enthält, dann habe ich doch als Vereinigung von allen solchen Mengen nicht nur die Menge [mm] M_{2} [/mm] sondern noch mehr Zahlen,die nicht in [mm] M_{2} [/mm] liegen, z.b liegt zwischen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3} [/mm] noch [mm] \bruch{7}{20},aber [/mm] das liegt nicht in [mm] M_{2}. [/mm]
Oder ist es erlaubt auch solche Punkte in der Vereinigung zu haben?
Dann würde ich als Epsilon [mm] \bruch{1}{a*i}, [/mm] wobei a eine reelle Zahl.
Aber allgemein weiß ich leider nicht,wie man sich so eine [mm] \varepsilon
[/mm]
-Umgebung konstruiert, bzw. woran man erkennt, wie man das [mm] \varepsilon [/mm] wählen sollte.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Do 02.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
es geht um eine offene Überdeckung von [mm] $M_2$. $\frac [/mm] 7{20}$ ist nicht in [mm] $M_2$, [/mm] also ist es unerheblich, ob er von der offenen Überdeckung von [mm] $M_2$ [/mm] überdeckt wird oder nicht. =)
[mm] $\varepsilon_i$ [/mm] wählt man "geeignet". (Du kannst die Größe der Umgebung für jeden Punkt von [mm] $M_1$ [/mm] bzw. [mm] $M_2$ [/mm] einzeln wählen, also [mm] $\varepsilon_i$)
[/mm]
Dafür brauchst Du natürlich erstmal einen Plan für Deine Überdeckungen. Der Unterschied zw. den beiden ist, daß ich bei [mm] $M_2$ [/mm] eine Überdeckung [mm] $\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ [/mm] wählen kann, bei der jedes [mm] $U_i$ [/mm] nur ein einziges Element aus [mm] $M_2$ [/mm] enthält.
Im Gegensatz dazu gilt für jede offene Überdeckung der 0, daß höchstens *endlich* viele Elemente von [mm] $M_1$ [/mm] außerhalb dieser liegen. Dafür kramst Du nochmal Dein Analysis I Wissen raus. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 02.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Blech,
> Hi,
>
> es geht um eine offene Überdeckung von [mm]M_2[/mm]. [mm]\frac 7{20}[/mm]
> ist nicht in [mm]M_2[/mm], also ist es unerheblich, ob er von der
> offenen Überdeckung von [mm]M_2[/mm] überdeckt wird oder nicht.
> =)
>
>
> [mm]\varepsilon_i[/mm] wählt man "geeignet". (Du kannst die Größe
> der Umgebung für jeden Punkt von [mm]M_1[/mm] bzw. [mm]M_2[/mm] einzeln
> wählen, also [mm]\varepsilon_i[/mm])
>
> Dafür brauchst Du natürlich erstmal einen Plan für Deine
> Überdeckungen. Der Unterschied zw. den beiden ist, daß
> ich bei [mm]M_2[/mm] eine Überdeckung [mm]\bigcup_{i=1}^\infty U_i[/mm]
> wählen kann, bei der jedes [mm]U_i[/mm] nur ein einziges Element
> aus [mm]M_2[/mm] enthält.
Ja, das hatte ich mir auch gedacht, deswegen hatte ich hier als Überdeckung einfach [mm] U_{i}=(\bruch{1}{i}) [/mm] genommen,aber das ist ja leider nicht offen. Zu [mm] M_{2}
[/mm]
Für [mm] M_{2} [/mm] gilt doch folgendes: Man wählt sich ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] d(0,\bruch{1}{n}) [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] Kann ich dann nicht sagen, [mm] M_{2}=\cup K(\bruch{1}{n}, \varepsilon) [/mm] ?
Was anderes fällt mir echt nicht ein.
>
> Im Gegensatz dazu gilt für jede offene Überdeckung der 0,
> daß höchstens *endlich* viele Elemente von [mm]M_1[/mm] außerhalb
> dieser liegen. Dafür kramst Du nochmal Dein Analysis I
> Wissen raus. =)
Das verstehe ich nicht ganz. Wieso nur endlich viele?
Ich habe jetzt schon das ganze Analysis I Wissen herausgekramt,was ich habe, (soviel ist es leider noch nicht).
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 02.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Im Gegensatz dazu gilt für jede offene Überdeckung der 0,
> > daß höchstens *endlich* viele Elemente von [mm]M_1[/mm] außerhalb
> > dieser liegen. Dafür kramst Du nochmal Dein Analysis I
> > Wissen raus. =)
>
> Das verstehe ich nicht ganz. Wieso nur endlich viele?
Das ist eigentlich ganz einfach: wenn du eine offene Überdeckung [mm] $\{U_i\}$ [/mm] von [mm] $M_1$ [/mm] hast, dann muss ja eines der [mm] $U_i$ [/mm] den Punkt 0 enthalten, sagen wir der Einfachheit halber mal, das sei [mm] $U_1$. [/mm] Das bedeutet insbesondere, dass eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von 0 in [mm] $U_1$ [/mm] enthalten sein muss. Per Definition der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] enthält sie außerdem alle Elemente $1/n$ von [mm] $M_1$, [/mm] für die [mm] $1/n<\varepsilon \gdw n>1/\varepsilon$ [/mm] ist.
Anders ausgedrückt: nur die $1/n$ mit [mm] $n\le 1/\varepsilon$ [/mm] liegen außerhalb dieser [mm] $\varepsilon$-Umgebung, [/mm] und da sind nur endlich viele. Also liegen nur endlich viele Elemente von [mm] $M_1$ [/mm] außerhalb von [mm] $U_1$, [/mm] und endlich viele Elemente kann ich immer mit endlich vielen offenen Mengen aus [mm] $\{U_i\}$ [/mm] überdecken.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo!
>
> > > Im Gegensatz dazu gilt für jede offene Überdeckung der 0,
> > > daß höchstens *endlich* viele Elemente von [mm]M_1[/mm] außerhalb
> > > dieser liegen. Dafür kramst Du nochmal Dein Analysis I
> > > Wissen raus. =)
> >
> > Das verstehe ich nicht ganz. Wieso nur endlich viele?
>
> Das ist eigentlich ganz einfach: wenn du eine offene
> Überdeckung [mm]\{U_i\}[/mm] von [mm]M_1[/mm] hast, dann muss ja eines der
> [mm]U_i[/mm] den Punkt 0 enthalten, sagen wir der Einfachheit halber
> mal, das sei [mm]U_1[/mm]. Das bedeutet insbesondere, dass eine
> [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von 0 in [mm]U_1[/mm] enthalten sein muss. Per
> Definition der [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung enthält sie außerdem
> alle Elemente [mm]1/n[/mm] von [mm]M_1[/mm], für die [mm]1/n<\varepsilon \gdw n>1/\varepsilon[/mm]
> ist.
>
> Anders ausgedrückt: nur die [mm]1/n[/mm] mit [mm]n\le 1/\varepsilon[/mm]
> liegen außerhalb dieser [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung, und da sind
> nur endlich viele. Also liegen nur endlich viele Elemente
> von [mm]M_1[/mm] außerhalb von [mm]U_1[/mm], und endlich viele Elemente kann
> ich immer mit endlich vielen offenen Mengen aus [mm]\{U_i\}[/mm]
> überdecken.
Okay, das ist nachvollziehbar. Damit ist doch schon bewiesen, dass [mm] M_{1} [/mm] kompakt ist oder? Was ich immer noch nicht verstehe, ist wie ich jetzt diese [mm] U_{i} [/mm] aufschreibe. Alle die ich ausprobiert hatte, waren falsch.
Soviel ist klar, dass jedes [mm] U_{i} [/mm] einen Punkt [mm] \bruch{1}{i} [/mm] enthalten muss,also habe ich schonmal [mm] U_{i}=(\bruch{1}{i},...) [/mm] und dann habe ich ein [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Aber was schreibe ich jetzt für die Pünktchen hin ?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Fr 03.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > > Im Gegensatz dazu gilt für jede offene Überdeckung der 0,
> > > > daß höchstens *endlich* viele Elemente von [mm]M_1[/mm] außerhalb
> > > > dieser liegen. Dafür kramst Du nochmal Dein Analysis I
> > > > Wissen raus. =)
> > >
> > > Das verstehe ich nicht ganz. Wieso nur endlich viele?
> >
> > Das ist eigentlich ganz einfach: wenn du eine offene
> > Überdeckung [mm]\{U_i\}[/mm] von [mm]M_1[/mm] hast, dann muss ja eines der
> > [mm]U_i[/mm] den Punkt 0 enthalten, sagen wir der Einfachheit halber
> > mal, das sei [mm]U_1[/mm]. Das bedeutet insbesondere, dass eine
> > [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von 0 in [mm]U_1[/mm] enthalten sein muss. Per
> > Definition der [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung enthält sie außerdem
> > alle Elemente [mm]1/n[/mm] von [mm]M_1[/mm], für die [mm]1/n<\varepsilon \gdw n>1/\varepsilon[/mm]
> > ist.
> >
> > Anders ausgedrückt: nur die [mm]1/n[/mm] mit [mm]n\le 1/\varepsilon[/mm]
> > liegen außerhalb dieser [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung, und da sind
> > nur endlich viele. Also liegen nur endlich viele Elemente
> > von [mm]M_1[/mm] außerhalb von [mm]U_1[/mm], und endlich viele Elemente kann
> > ich immer mit endlich vielen offenen Mengen aus [mm]\{U_i\}[/mm]
> > überdecken.
>
> Okay, das ist nachvollziehbar. Damit ist doch schon
> bewiesen, dass [mm]M_{1}[/mm] kompakt ist oder? Was ich immer noch
> nicht verstehe, ist wie ich jetzt diese [mm]U_{i}[/mm] aufschreibe.
> Alle die ich ausprobiert hatte, waren falsch.
> Soviel ist klar, dass jedes [mm]U_{i}[/mm] einen Punkt [mm]\bruch{1}{i}[/mm]
> enthalten muss,also habe ich schonmal
> [mm]U_{i}=(\bruch{1}{i},...)[/mm] und dann habe ich ein [mm]\varepsilon[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{n}.[/mm] Aber was schreibe ich jetzt für die
> Pünktchen hin ?
Du musst die [mm] $U_i$ [/mm] gar nicht explizit angeben. Du musst nur das Argument etwas ausformulieren.
Also: wir starten mit irgendeiner beliebigen (unendlichen) Überdeckung [mm] $\{U_i\}$ [/mm] von [mm] $M_1$. [/mm] Mit dem Argument von oben haben wir eine offene Menge (die ich der Einfachheit halber [mm] $U_1$ [/mm] genannt habe), die alle Punkte von [mm] $M_1$ [/mm] bis auf (höchstens) endlich viele überdeckt. Wir wissen außerdem, dass alle Punkte außerhalb von [mm] $U_1$ [/mm] die Form
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] , $ [mm] n\le [/mm] N = [mm] \left\lceil 1/\varepsilon\right\rceil$ [/mm] ($N$ ist die kleinste ganze Zahl, die [mm] $\ge1/\varepsilon$ [/mm] ist)
haben, also [mm] $n=1,\dots,N$. [/mm] Jetzt nimmst du dir wieder die Überdeckung [mm] $\{U_i\}$ [/mm] her und wählst daraus N Mengen aus, die diese Punkte [mm] \bruch{1}{n} [/mm] , [mm] $n=1,\dots,N$ [/mm] enthalten. Du kannst diese Mengen nicht explizit angeben, weil du ja nicht weisst, wie die Überdeckung [mm] $\{U_i\}$ [/mm] genau aussieht. Es reicht zu sagen, dass es diese Mengen gibt (weil [mm] $\{U_i\}$ [/mm] eine Überdeckung ist) und das es nur endlich viele sind (weil sie nur endlich viele einzelne Punkte überdecken müssen).
Also kannst du sagen, dass du zu einer beliebigen (unendlichen) Überdeckung [mm] $\{U_i\}$ [/mm] eine endliche Teilüberdeckung finden kannst, also ist [mm] $M_1$ [/mm] kompakt.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Fr 03.06.2011 | | Autor: | SEcki |
> Das funktioniert so nicht, dass die [mm]U_{i}=\{\bruch{1}{i}\}[/mm]
> sind nicht offen.
Doch - mit der Teilraumtopologie. Und damit ist es eine offene Überdeckung in der Teilraumtopologie ohne endliche Teilüberdeckung. Da die Menge kompakt ist gdw. sie mittels Teilraumtopologie kompakt ist, folgt alles schon damit.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Fr 03.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Das funktioniert so nicht, dass die [mm]U_{i}=\{\bruch{1}{i}\}[/mm]
> > sind nicht offen.
>
> Doch - mit der Teilraumtopologie.
Sicher, aber ich denke nicht, dass die Posterin das gemeint hat.
> Und damit ist es eine
> offene Überdeckung in der Teilraumtopologie ohne endliche
> Teilüberdeckung. Da die Menge kompakt ist gdw. sie mittels
> Teilraumtopologie kompakt ist, folgt alles schon damit.
Ein eleganter Beweis, wenn man das Prinzip verstanden hat 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo ihr beiden,
>
> > > Das funktioniert so nicht, dass die [mm]U_{i}=\{\bruch{1}{i}\}[/mm]
> > > sind nicht offen.
> >
> > Doch - mit der Teilraumtopologie.
>
> Sicher, aber ich denke nicht, dass die Posterin das gemeint
> hat.
In der Tat, das habe ich wirklich nicht gemeint, ich weiß nicht mal,was das ist.
>
> > Und damit ist es eine
> > offene Überdeckung in der Teilraumtopologie ohne endliche
> > Teilüberdeckung. Da die Menge kompakt ist gdw. sie mittels
> > Teilraumtopologie kompakt ist, folgt alles schon damit.
>
> Ein eleganter Beweis, wenn man das Prinzip verstanden hat
>
Aber wenn ihr es schon angesprochen habt, will ich auch wissen,was es damit auf sich hat. Ist die Teilraumtopologie einfach eine Teilmenge des metrischen Raumes,also hier [mm] \IR? [/mm] Und wenn ja, welche Teilmenge nimmt man sich dann?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Sa 04.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber wenn ihr es schon angesprochen habt, will ich auch
> wissen,was es damit auf sich hat. Ist die Teilraumtopologie
> einfach eine Teilmenge des metrischen Raumes,also hier [mm]\IR?[/mm]
> Und wenn ja, welche Teilmenge nimmt man sich dann?
Nein, es geht darum, eine beliebige Teilmenge [mm] $M\subset [/mm] X$ eines metrischen Raumes mit einer Topologie auszustatten, also zu definieren, welche Teilmengen [mm] $A\subset [/mm] M$ als Teilmengen von M offen sind. In der Teilraumtopologie ist eine solche Menge [mm] $A\subset [/mm] M$ offen (als Teilmenge von $M$), wenn es eine offene Teilmenge [mm] $U\subset [/mm] X$ gibt, sodass
[mm] A\cap M = U [/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
,
das heisst die offenen Teilmengen von M sind genau die Durchschnitte der offenen Teilmengen von X mit M.
Die Menge $U_i=\right\{\bruch{1}{i}\right\}$ ist in der Teilraumtoplogie offen, weil es in X eine offene Umgebung von $\bruch{1}{i}$ gibt, die keine weiteren Punkte von $M_1$ enthält, und daher der Durchschnitt dieser Umgebung mit $M_1$ gerade $U_i$ ist.
Daher ist die Menge aller dieser $U_i$ eine offene Überdeckung von $M_1$ (in der Teilraumtopologie). Da $M_1$ nicht mehr überdeckt ist, wenn du auch nur eines der $U_i$ weglässt, gibt es dazu keine endliche Teilüberdeckung. Also ist $M_1$ bzgl der Teilraumtopologie nicht kompakt.
Das ist aber nur die halbe Miete, denn jetzt brauchst du die Aussage, dass M kompakt ist, wenn sie in der Teilraumtopologie kompakt ist.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:22 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige mit der Überdeckungseigenschaft (!), dass die
> Menge [mm]M_{1}=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \cup \{0\} \subset \IR[/mm]
> kompakt ist, die Menge [mm]M_{2}:=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \subset \IR[/mm]
> jedoch nicht. Wie sieht man viel leichter ein,dass [mm]M_{2}[/mm]
> nicht beschränkt ist?
Wie bitte ? [mm] M_2 [/mm] ist beschränkt !!
FRED
> Guten Tag,
>
> Ich habe mir Folgendes zu dieser Aufgabe überlegt:
>
> Nach dem Satz von Borel-Lebesgue gilt: [mm]M_{i}[/mm] ist genau dann
> kompakt, falls jede offene Überdeckung [mm]\{U_{i}\}[/mm] von X
> eine endliche Teilüberdeckung hat, i=1,2.
>
> Zu [mm]M_{2}:[/mm] Ich hab jetzt einfach mal [mm]U_{i}=\{\bruch{1}{i}\}[/mm]
> gewählt, wobei ich mir nicht ganz sicher ob ich das darf.
> Aber wenn ja, dann ist [mm]M_{2}=U_{1} \cup U_{2} \cup U_{3}...[/mm]
> So, und wenn ich auch nur einen dieser [mm]U_{i}[/mm] weglasse,
> erhalte ich nicht mehr [mm]M_{2},[/mm] da ja in [mm]M_{2}[/mm] alle n [mm]\in[/mm] N
> quasi "dabei sind".
>
> Zu [mm]M_{1}:[/mm] Ich hab hier einige [mm]U_{i}'s[/mm] ausprobiert. Unzwar
> [mm]U_{i}=(\bruch{1}{i},1-\bruch{1}{i}).[/mm] Hier habe ich aber
> keine endliche Teilüberdeckung von [mm]M_{1}[/mm] gefunden, also
> kann das auch keine offene Überdeckung sein. Dann habe ich
> noch [mm]U_{i}=(1,1-\bruch{1}{i})[/mm] und
> [mm]U_{i}=(\bruch{1}{i},1-\bruch{2}{i})[/mm] ausprobiert. Bei
> letzterem habe ich mir gedacht, dass ich
> [mm]U_{2}=(1,\bruch{1}{2})[/mm] weglassen könnte, da das schon in
> [mm]U_{1}[/mm] enthalten ist und hätte trotzdem die Menge [mm]M_{1}[/mm] als
> Vereinigung der restlichen [mm]U_{i}.[/mm]
>
> Aber ich weiß nicht, ob man das so machen kann und ob
> damit gezeigt ist, dass jede! offene Überdeckung eine
> endliche Teilüberdeckung hat, denn ich hab ja eine
> bestimmte offene Überdeckung gewählt.
> Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Lenzo |
> > Man zeige mit der Überdeckungseigenschaft (!), dass die
> > Menge [mm]M_{1}=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \cup \{0\} \subset \IR[/mm]
> > kompakt ist, die Menge [mm]M_{2}:=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \subset \IR[/mm]
> > jedoch nicht. Wie sieht man viel leichter ein,dass [mm]M_{2}[/mm]
> > nicht beschränkt ist?
>
> Wie bitte ? [mm]M_2[/mm] ist beschränkt !!
>
> FRED
>
Hallo am Alle...
Sie meint "kompakt"...
Was müsste denn gelten (folgen), wenn M2 kompakt wäre? Ist es erfüllt?
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Fred,
> > Man zeige mit der Überdeckungseigenschaft (!), dass die
> > Menge [mm]M_{1}=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \cup \{0\} \subset \IR[/mm]
> > kompakt ist, die Menge [mm]M_{2}:=\{\bruch{1}{n}: n \in \IN\} \subset \IR[/mm]
> > jedoch nicht. Wie sieht man viel leichter ein,dass [mm]M_{2}[/mm]
> > nicht beschränkt ist?
>
> Wie bitte ? [mm]M_2[/mm] ist beschränkt !!
Ja ich meinte auch kompakt, hatte wohl irgendwie beschränkt im Kopf. Aber mit der Beschränktheit sieht man eben leichter, dass [mm] M_{2} [/mm] kompakt ist.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Lenzo |
> > Wie bitte ? [mm]M_2[/mm] ist beschränkt !!
>
> Ja ich meinte auch kompakt, hatte wohl irgendwie
> beschränkt im Kopf. Aber mit der Beschränktheit sieht man
> eben leichter, dass [mm]M_{2}[/mm] kompakt ist.
>
> lg
Jetzt scheinst Du noch mehr durcheineinder zu bringen. Sicher, dass du M2 meinst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
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> > > Wie bitte ? [mm]M_2[/mm] ist beschränkt !!
> >
> > Ja ich meinte auch kompakt, hatte wohl irgendwie
> > beschränkt im Kopf. Aber mit der Beschränktheit sieht man
> > eben leichter, dass [mm]M_{2}[/mm] kompakt ist.
> >
> > lg
>
> Jetzt scheinst Du noch mehr durcheineinder zu bringen.
> Sicher, dass du M2 meinst?
Ahhh.Ich bring nichts durcheinander, ich denke mir das richtige,schreib es aber falsch auf. Ich meinte dass [mm] M_{2} [/mm] nicht kompakt ist.
lg
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