offene Überdeckung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeige dass: [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n}\right) [/mm] eine offene Überdeckung vom Intervall $(0,1)$ ist. |
Ok also ich habe folgende Lösung:
Z.z. ist, dass für alle $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ ein $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit $x [mm] \in U_n$ [/mm] existiert. Solch ein $n$ existiert aber mit [mm] $\frac{1}{n+2} [/mm] < x$. Wir verwenden nun das kleinste solche $n$, also $x < [mm] \frac{1}{n+1}$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $$\frac{1}{n+2}
Hieraus folgt nun, dass [mm] $\bigcup U_n$ [/mm] eine Überdeckung von $(0,1)$ ist.
Ok wie kommen die hier auf das kleinste solche $n$, also das [mm] $x\le\frac{1}{n+1}$? [/mm]
Danke schon mal für eure Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Di 01.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HappyHaribo!
> Zeige dass:
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n}\right)[/mm]
> eine offene Überdeckung vom Intervall [mm](0,1)[/mm] ist.
> Ok also ich habe folgende Lösung:
> Z.z. ist, dass für alle [mm]x \in (0,1)[/mm] ein [mm]n \in \mathbb{N}[/mm]
> mit [mm]x \in U_n[/mm] existiert. Solch ein [mm]n[/mm] existiert aber mit
> [mm]\frac{1}{n+2} < x[/mm]. Wir verwenden nun das kleinste solche [mm]n[/mm],
> also [mm]x < \frac{1}{n+1}[/mm]. Dann gilt:
> [mm]$$\frac{1}{n+2}
>
> Hieraus folgt nun, dass [mm]\bigcup U_n[/mm] eine Überdeckung von
> [mm](0,1)[/mm] ist.
Diese Lösung ist nicht ganz korrekt. Anscheinend soll [mm] $0\notin\IN$ [/mm] gelten. Dann muss nicht $x < [mm] \frac{1}{n+1}$ [/mm] für das gewählte $n$ gelten (und zwar im Falle $n=1$ nicht notwendigerweise).
> Ok wie kommen die hier auf das kleinste solche [mm]n[/mm], also das
> [mm]x\le\frac{1}{n+1}[/mm]?
Ich schlage vor, anstatt den nicht ganz korrekten Versuch zu reparieren, neu zu starten.
Sei [mm] $x\in(0,1)$. [/mm] Wir suchen ein [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $x\in(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n})$.
[/mm]
Für jedes [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] gelten die Äquivalenzen (beachte $x>0$, $n>0$ und $n+2>0$):
[mm] $x\in(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n})$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\frac{1}{n+2}
[mm] $\iff$ $\frac{1}{x}
[mm] $\iff$ $n<\frac{1}{x}
Wir suchen also nun ein [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $n<\frac{1}{x}
Beachte: Wegen [mm] $x\in(0,1)$ [/mm] gilt [mm] $\frac{1}{x}>1$.
[/mm]
Somit gibt es ein [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $n<\frac{1}{x}$. [/mm] Wir wählen das größte solche $n$.
Für dieses $n$ gilt [mm] $n+1\ge\frac{1}{x}$, [/mm] also insgesamt
[mm] $n<\frac{1}{x}\le [/mm] n+1<n+2$
wie gewünscht.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
