offene Mengen mit Rand < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Definition Seien $ x [mm] \in \IR^n [/mm] $ , $ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 1 $ , und $ a [mm] \in \IR [/mm] $ . Die Menge $ [mm] H_{x,a} [/mm] = {y [mm] \in \IR [/mm] | < x , y > [mm] \le [/mm] a} $ heißt geschlossener Halbraum, ihr Inneres $ [mm] H_{ x , a } [/mm] =
{y [mm] \in \IR [/mm] | < x , y > < a} $ offener Halbraum.
Eine Teilmenge $ U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] $ heißt offene Menge mit Rand, falls $ U [mm] \subset H_{ x , a } [/mm] $ und in $ [mm] H_{ x , a }^{\circ} [/mm] $ offen ist. Die
Menge $ [mm] \partial [/mm] U = U \ [mm] H_{ x , a }^{\circ} [/mm] heißt der Rand von U . Man beachte, dass $ [mm] \partial [/mm] U $im allgemeinen nicht der
topologische Rand von $ U in [mm] \IR^{n} [/mm] ist! |
| Aufgabe 2 | Bemerkung Für alle $ x [mm] \in \IR^{n} [/mm] , [mm] \paralle [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 1 $ , und $ a [mm] \in \IR [/mm] $ , gibt es eine Matrix $ A [mm] \in [/mm] SO(n) $
(d.h. $ [mm] A^{t} [/mm] A = 1 und det A = 1), so dass $ [mm] H_{x,a} [/mm] = [mm] A(]-\infinity [/mm] , 0] × [mm] \IR^{n-1} [/mm] + a · x $. Daher kann man
bis auf affine Bijektionen annehmen, dass U in $ [mm] H_{ e1 , 0 } [/mm] = ] − [mm] \infty [/mm] , 0] × [mm] \IR^{n-1} [/mm] $ offen ist. Dann ist $ [mm] \partial [/mm] U =
U \ (0 × [mm] \IR^{n-1}) [/mm] $ und kann als offene Teilmenge (ohne Rand) von $ [mm] \IR^{n-1} [/mm] $ aufgefasst werden. |
Hallo,
ich verstehe leider die Bemerkung nicht so wirklich.
1.
Wenn ich so eine offene Menge mit Rand habe, dann kann ich sagen das sie in $ [mm] H_{ e1 , 0 } [/mm] $ liegt , aber wieso erhalten bijektiv abbildungen die "offenheit" ?
2.
Woher weiß ich das so ein bijektive ( längstreu ) Abbildung existiert?
3.
Mit affiner Bijektion meint man A ist bijektiv plus dieses a*x?
4. Dann ist $ [mm] \partial [/mm] U =
U \ (0 × [mm] \IR^{n-1}) [/mm] $ und kann als offene Teilmenge (ohne Rand) von $ [mm] \IR^{n-1} [/mm] $ aufgefasst werden. (Das verstehe ich nocht nicht wirklich.
Danke für eure Hilfe
freshstyle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 16.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 Do 19.06.2008 | | Autor: | freshstyle |
Hallo,
ich wollte noch mal den Thread hoch schieben.
Danke
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