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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 So 12.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum. Wir definieren
[mm] d_{1}(x,y) [/mm] = [mm] min\{d(x,y),1\}. d_{1} [/mm] ist eine Metrik.
Zeigen Sie, dass [mm] d_{1} [/mm] die gleiche offene Menge induziert wie d. |
Hallo Zusammen, 
sitze gerade an dieser Übungsaufgabe und bin ein wenig verdutzt.
Wenn [mm] \varepsilon \le [/mm] 1, dann gilt ja: [mm] d_{1}(x,y) [/mm] = d(x,y) und somit induzieren sie auch die selbe offene Menge mit B= [mm] \{x \in M: d(x,y) < \varepsilon\}.
[/mm]
Wenn jedoch z.B. [mm] \varepsilon [/mm] = 1,1 dann gilt doch folgendes:
[mm] d_{1}(x,y) [/mm] = 1, wenn d(x,y)>1, also egal wie weit entfernt das x vom y eigentlich gem. Standardmetrik ist.
Dann B= [mm] \{x \in M: d_{1}(x,y) < \varepsilon\} [/mm] eigentlich ganz M und nicht dieselbe offene Menge wie B= [mm] \{x \in M: d(x,y) < \varepsilon\}
[/mm]
Wie kann dann [mm] d_{1} [/mm] dieselbe offene Menge wie d induzieren?
Wahrscheinlich ist die Antwort ganz einfach, hab wohl irgendwie einen Gedanken- oder Verständnisfehler
LG
DrRiese
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Hallo!
> Sei (M,d) ein metrischer Raum. Wir definieren
> [mm]d_{1}(x,y)[/mm] = [mm]min\{d(x,y),1\}. d_{1}[/mm] ist eine Metrik.
> Zeigen Sie, dass [mm]d_{1}[/mm] die gleiche offene Menge induziert
> wie d.
> Hallo Zusammen,
> sitze gerade an dieser Übungsaufgabe und bin ein wenig
> verdutzt.
> Wenn [mm]\varepsilon \le[/mm] 1, dann gilt ja: [mm]d_{1}(x,y)[/mm] = d(x,y)
> und somit induzieren sie auch die selbe offene Menge mit B=
> [mm]\{x \in M: d(x,y) < \varepsilon\}.[/mm]
>
> Wenn jedoch z.B. [mm]\varepsilon[/mm] = 1,1 dann gilt doch
> folgendes:
> [mm]d_{1}(x,y)[/mm] = 1, wenn d(x,y)>1, also egal wie weit entfernt
> das x vom y eigentlich gem. Standardmetrik ist.
> Dann B= [mm]\{x \in M: d_{1}(x,y) < \varepsilon\}[/mm] eigentlich
> ganz M und nicht dieselbe offene Menge wie B= [mm]\{x \in M: d(x,y) < \varepsilon\}[/mm]
>
> Wie kann dann [mm]d_{1}[/mm] dieselbe offene Menge wie d
> induzieren?
> Wahrscheinlich ist die Antwort ganz einfach, hab wohl
> irgendwie einen Gedanken- oder Verständnisfehler
>
> LG
> DrRiese
Ich würde sagen, in der Aufgabe geht es nicht darum, dass die Metriken die gleichen [mm] \varepislon [/mm] -Bälle erzeugen, was in der Tat nicht richtig ist, sondern dass sie die gleichen offenenen Mengen bestimmen, die Topologien also übereinstimmen, was klar ist, da die "kleinen" Bälle eine Basis der Topologie bilden und diese übereinstimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Di 14.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hi, danke für die Antwort
ok ich versuch es mal:
Sei U [mm] \subset [/mm] M mit der Metrik d = |x-y| eine offene Menge, also [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \exist \varepsilon [/mm] > 0: [mm] B(x,\varepsilon) \subset [/mm] U.
1. Fall: Sei [mm] \varepsilon \le [/mm] 1
[mm] B_{1}(x,\varepsilon):=\{x \in M: d_{1}(x,x_{0})<\varepsilon\} [/mm] = [mm] B_{2}(x,\varepsilon):=\{x \in M: d(x,x_{0})<\varepsilon\} \Rightarrow [/mm] gleiche Bälle, also gleiche offene Mengen.
2. Fall: Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 1
[mm] B_{1}(x,\varepsilon):=\{x \in M: d_{1}(x,x_{0})<\varepsilon} [/mm] = M
[mm] B_{2}(x,\varepsilon):=\{x \in M: d(x,x_{0})<\varepsilon} \le [/mm] M
Also existieren bei d und [mm] d_{1} [/mm] dieselben offenen Mengen. [mm] \Box
[/mm]
Also so würde ich das jetzt bearbeiten. Hab aber so ein Gefühl, dass der "Beweis" bestimmt nicht ganz korrekt ist. Vor allem beim letzten Schritt, da weiss ich leider noch nicht so ganz, wie ich besser argumentieren könnte :(
LG,
DrRiese
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Du brauchst da garkeine Fallunterscheidung machen. Dir ist doch bekannt, dass die offenen Mengen genau die beliebigen Vereinigungen von Bällen sind. Ist U nämlich offen, dann gibt es zu jedem Element $ x [mm] \in [/mm] U $ ein $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $, sodass $ [mm] B_{\varepsilon}(x)\subset [/mm] U $. Na dann ist
$ U = [mm] \bigcup_{x \in U} B_{\varepsilon}(x) [/mm] $. Es reicht zu zeigen, dass man $ [mm] \varepsilon \le [/mm] 1 $ wählen kann. Dies ist aber klar, da ein Ball von x immer x enthält und man ja gerade über alle x aus U vereinigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mi 15.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
Achso, vielen Dank für die Antwort
LG,
DrRiese
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