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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Sa 21.11.2009 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] X\to \IR [/mm] eine stetige Funktion auf einem metrischen Raum (X,d). Beweisen Sie, daß die Menge U={x [mm] \in [/mm] X: f(x)<0} offen ist. |
Hallo,
so ich habe folgende Definition einer offenen Menge gefunden:
Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Man nennt U dann offen (bzgl. der von d induzierten Topologie), wenn gilt:
Für jedes x aus U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, so dass für jeden Punkt y aus X gilt: Aus d(x,y) < ε folgt, dass y in U liegt.
Jetzt weiß ich nicht so genau wie ich das beweisen kann. Spielt es eine Rolle das wir von einer stetigen Funktion reden?
Mich verwirrt es jetzt ein wenig das f(x)<0 definiert wurde, ε>0 . Ist damit nicht schon klar das d(x,y) < ε folgt? Ich bin verwirrt....
Vielleicht kann mir jemand helfen da etwas Klarheit reinzubringen.
Lg, chip
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f: [mm]X\to \IR[/mm] eine stetige Funktion auf einem metrischen
> Raum (X,d). Beweisen Sie, daß die Menge [mm] $U=\{x \in X: f(x)<0\} [/mm] offen ist.
> Hallo,
> so ich habe folgende Definition einer offenen Menge
> gefunden:
> Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X.
> Man nennt U dann offen (bzgl. der von d induzierten
> Topologie), wenn gilt:
> Für jedes x aus U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, so
> dass für jeden Punkt y aus X gilt: Aus d(x,y) < ε folgt,
> dass y in U liegt.
> Jetzt weiß ich nicht so genau wie ich das beweisen kann.
> Spielt es eine Rolle das wir von einer stetigen Funktion
> reden?
> Mich verwirrt es jetzt ein wenig das f(x)<0 definiert
> wurde, ε>0 . Ist damit nicht schon klar das d(x,y) < ε
> folgt? Ich bin verwirrt....
Tipp: Nutze diese Definition der Stetigkeit: wenn f eine stetige Funktion ist, dann ist das Urbild einer offenen Menge unter f wieder eine offene Menge.
Viele Grüße
Rainer
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